Question

离散数学的题,帮我一下!

证明
1．设e和0是关于A上二元运算*的单位元和零元，如果|A|>1，则e≠0。
2．任一图中度数为奇数的结点是偶数个。
3．设群＜G，＊＞除单位元外每个元素的阶均为2，则＜G，＊＞是交换群。
4．在一个连通简单无向平面图G=〈V，E，F〉中若|V|≥3，则 |E|≤3|V－6。
5．单位元有惟一逆元。
6．设<G, >是一个群，则对于a,b∈G，必有惟一的x∈G，使得a*x=b。
7．设代数系统<G,*>是一个群，则G除单位元以外无其它等幂元。
8．若连通简单无向平面图G有n个结点，m条边，k个面，且每个面至少由k(k≥3)条边围成，则 m≤k(n－2)／(k－2)。
9．证明在元素不少于两个的群中不存在零元。
10．素数阶循环群的每个非单位元都是生成元。
11．设G=〈V，E〉是一个连通且|V|=|E|+1的图，则G中有一个度为1的结点。
12．给定无向连通简单平面图G=<V,E,F>，且|V|=6, |E|=12, 则对于任意f F, deg(f)=3。
13．证明在一个群中单位元是惟一的。
14．在一个群〈G，*〉中，若G中的元素a的阶是k，即 | a |=k，则a-1的阶也是k。
15．若有n个结点的连通图中恰有n-1 条边，则图中至少有一个结点度数为1。

Answer 1

1、若e=0
则依定义：（x为A中任一元素）
ex=x;ex=0x=0;
即x=0；|A|=1
矛盾
2、
各结点度数之和应为边数的2倍，为偶数，若度数为奇数的结点是奇数个各结点度数之和为奇数，矛盾。故任一图中度数为奇数的结点是偶数个。
3、因每个元素均为2阶，A=A-1(逆元素)
A*B=(A*B)-1=B-1*A-1=B*A

5、设A,B均为E的逆元：
即AE=BE=E
B=EB=E=EA=A
故E逆元唯一
6、存在性：
当x=a-1 b（∈G）时a x=a a-1 b=b
唯一性：
假设x1x2都满足条件
x1=a-1 a x1=a-1 b=a-1 a x2=x2
9、由题1知e≠0
但e=00-1=0
故不存在0-1，即不能有零元。
10、设a为非单位元，阶为k,即a^k=e;|A|=k;
对于元素a^r(r<k,r∈N*);m,n∈N*,n<m<r.
若(a^r)^m=(a^r)^n
a^[r(m-n)]=e=a^sk (s∈N)
r(m-n)>0 ==> s>0
k为质数 ==> k|r 或k|(m-n)
但0<r<k 0<m-n<k
故不存在这样的m,n
即a^r (a^r)^2 ...... (a^r)^(k-1),e互不相等。
即a^r为生成元。
13、设有E1E2二个单位元
E1=E1E2=E2
即E唯一
14、由题意a^k=e
a-1=a^(k-1) a-1^2=a^(k-2).....a-1^(k-1)=a a-1^k=1
即a-1的阶也是k
15、若结点数都大于1，则2(n-1)=度数和>=2n>2(n-1),矛盾。

有关VEF的概念和公式我没学，抱歉爱莫能助。

Answer 2

1、若e=0
则依定义：（x为A中任一元素）
ex=x;ex=0x=0;
即x=0；|A|=1
矛盾
2、
各结点度数之和应为边数的2倍，为偶数，若度数为奇数的结点是奇数个各结点度数之和为奇数，矛盾。故任一图中度数为奇数的结点是偶数个。
3、因每个元素均为2阶，A=A-1(逆元素)
A*B=(A*B)-1=B-1*A-1=B*A
5、设A,B均为E的逆元：
即AE=BE=E
B=EB=E=EA=A
故E逆元唯一
6、存在性：
当x=a-1
b（∈G）时a
x=a
a-1
b=b
唯一性：
假设x1x2都满足条件
x1=a-1
a
x1=a-1
b=a-1
a
x2=x2
9、由题1知e≠0
但e=00-1=0
故不存在0-1，即不能有零元。
10、设a为非单位元，阶为k,即a^k=e;|A|=k;
对于元素a^r(r<k,r∈N*);m,n∈N*,n<m<r.
若(a^r)^m=(a^r)^n
a^[r(m-n)]=e=a^sk
(s∈N)
r(m-n)>0
==>
s>0
k为质数
==>
k|r
或k|(m-n)
但0<r<k
0<m-n<k
故不存在这样的m,n
即a^r
(a^r)^2
......
(a^r)^(k-1),e互不相等。
即a^r为生成元。
13、设有E1E2二个单位元
E1=E1E2=E2
即E唯一
14、由题意a^k=e
a-1=a^(k-1)
a-1^2=a^(k-2).....a-1^(k-1)=a
a-1^k=1
即a-1的阶也是k
15、若结点数都大于1，则2(n-1)=度数和>=2n>2(n-1),矛盾。
有关VEF的概念和公式我没学，抱歉爱莫能助。