Question

设函数f(x)=2^(x-cosα) — 2^(-x-cosα ),x∈R,且f(1)=3/4。若当0≤θ≤π/2时

f（cos²θ+2msinθ）+f（-2m-2）＜0恒成立，求实数m的取值范围 请尽快来帮忙

Answer 1

【1】
先求函数解析式。
把题设中的解析式两边同乘以2^cosa.可得：
[2^cosa]×f(x)=(2^x)-[2^(-x)]
令x=1,由f(1)=3/4可得：
(2^cosa)×(3/4)=2-(1/2)=3/2.
∴2^cosa=2.
∴函数解析式为：
f(x)=[(2^x)-2^(-x)]/2.
【2】
再讨论该函数的性质。
显然，该函数为奇函数。即恒有
f(-x)=-f(x) , x∈R
且该函数在R上递增。
【3】
题设中的不等式可化为：
cos²θ+2msinθ＜2m+2.
2m(sinθ-1)＜1+sin²θ
2m(1-sinθ)＞-(1+sin²θ)
∵0≦θ≦π/2
∴0≦sinθ≦1
∴0≦1-sinθ≦1
易知，当1-sinθ=0时，
上面的不等式对任意实数m恒成立，
以下仅讨论0＜1-sinθ≤1的情况。
∵sin²θ=[(1-sinθ)-1]²
=(1-sinθ)²-2(1-sinθ)+1.
∴恒有2m(1-sinθ)＞-[2-2(1-sinθ)+(1-sinθ)²]
两边同除以1-sinθ,可得：
-2m＜(1-sinθ)+[2/(1-sinθ)]-2.
∴恒有2-2m＜(1-sinθ)+[2/(1-sinθ)]
由0＜1-sinθ≦1及“对勾函数单调性”可知：
(1-sinθ)+[2/(1-sinθ)]≥3.
等号仅当1-sinθ=1时取得。
∴由题设可知，应恒有2-2m＜3
∴m＞-1/2.