Question

已知x≥0,y≥0,且x+y=π/2,则函数f(x,y)=cosx+cosy的值域是? 要过程，急用，

Answer 1

f(x,y)=cosx+cosy＝cosx+cos(π/2-x)=cosx+sinx=√2sin(x+π/4)
x+y=π/2
π/4≤x+π/4≤3π/4
所以1≤f(x,y)≤√2
当x=π/4、3π/4取最小值，当x=π/2取最大值

Answer 2

解：
∵x+y=π/2
∴y=(π/2)-x
∴由“诱导公式”可得：
cosy=cos[(π/2)-x]=sinx
∴f(x,y)=cosx+cosy
=sinx+cosx
=(√2)sin[x+(π/4)]
可设函数g(x)=f(x,y)
=(√2)sin[x+(π/4)]
由x≧0,y≧0且x+y=π/2可知：
0≤x≤π/2
∴π/4≦x+(π/4)≦(3π)/4
∴(√2)/2≦sin[x+(π/4)]≦1
∴1≦(√2)sin[x+(π/4)]≦√2
即1≤f(x,y)≤√2.
∴值域为[1,√2]