Question

线性代数问题

1假设矩阵A为m*n矩阵,B 为n阶矩阵。已知r(A)=n,证明
（1）若AB=O则B=O
（2）若AB=A则B=I
2 若n阶矩阵A满足A²-2A-4I=O,试证明A+I可逆，并求(A+I)-¹

Answer 1

1. 证明: (1) 因为 AB = 0, 所以B的列向量都是 AX=0 的解 [ 看到AB=0就要联想到这个结论]
而由已知 r(A)=n, 所以 AX=0 只有零解
所以B的列向量都是零向量, 故 B-0.

(2) 由 AB=A, 所以 A(B-I) = 0. 由(1)知 B-I=0, 所以 B=I.

2. 由A²-2A-4I=O 得 (A+I)(A-3I)=I
所以 A+I 可逆, 且 (A+I)^-1 =A-3I.

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Answer 2

从解方程组的角度看, 对换两列其实就是交换未知量的位置, 而另两个列变换就没有实际意义了!
单从矩阵的列变换看, 它其实就是对矩阵的转置实施行变换, 所以没有必要研究它.
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6月L4