Question

已知点P(0,5)及圆C:x*2+y*2+4x-12y+24=0,求过点P的圆C的弦的中点轨迹方程

Answer 1

所求中点(x,y)、p点、圆心(-2,6) 三点构成直角三角形
用勾股定理：得
x^2+(y-5)^2+(x+2)^2+(y-6)^2=(2-0)^2+(6-5)^2
x^2+y^2-11y+2x+30=0
(x+1)^2+(y-(11/2))^2=5/4
这就是所求 以(-1,11/2)为圆心，二分之根5为半径的圆

Answer 2

点差法，优点对圆锥曲线均适用（圆，椭圆，双曲线等）
弦与圆交于A，B俩点 且 x1+x2=2x y1+y2=2y
设A（x1,y1） B(x2,y2)
分别带入圆的方程
x1^2+y1^2+4x1-12y1+24=0
x2^2+y2^2+4x2-12y2+24=0

联立得：
(x1-x2)(x1+x2+4)= - (y1-y2)(y1+y2-12)

(x1+x2+4)/(y1+y2-12)= - (y1-y2)/(x1-x2)

(2x+4)/(2y-12)= - (y-5)/x

化简即为所得。

Answer 3

设过点P的直线斜率为k，则可以利用点斜式写出直线的方程。把直线方程与圆的方程联立消去y,整理成一个关于x的含参数k的一元二次方程。利用韦达定理求出x1+x2,再利用直线方程和（x1+x2)求出y1+y2。然后令x=(x1+x2)/2,y=(y1+y2)/2，联立这两个方程消去k就可以得到x和y的关系式。