Question

这题怎么解 求助

P先生、Q先生都具有足够的推理能力。
一天，他正在接受推理面试。
他知道桌子的抽屉里有以下16张牌:
黑桃：J、8、4、2、7、3
红心：A、Q、4
方块：A、5
梅花：K、Q、5、4、6
白教授从16张牌中挑出一只牌，并把牌的点数告知P先生，
再把牌的花告知Q先生。即是说，P只知点数，Q只知花。
白教授问P先生和Q先生:你们能否从推理出我挑出的是什麼牌?
P先生:“我不知道。“
Q先生:“我知道你不知道。“
P先生:“现在我知道了。“
Q先生:“OH，我也知道了。“

Answer 1

已知：1＜X＜50，1＜Y＜50， X＜＞Y，X＋Y＝P，XY＝Q，5＜＝P＜＝97，6＜＝Q＜＝2352
求：X，Y

由于P先生：“我不知道，你也不知道。”所以对于P，Q都不可能只有一种组合，如：P＝5＝2＋3，Q＝6
P先生的话说明P先生得到的和数不会是两个质数相加的和，否则其乘积Q有可能唯一。即
P＜＞ 2＋2，2＋3， 2＋5， 2＋7， 2＋11， 2＋13， 2＋17， 2＋19， 2＋23， 2＋29， 2＋31，2＋37，2＋41，2＋43，2＋47
　　4　　 5　　 7　　 9　　 13　　 15　　 19　　 21　　 25　　 31　　 33　　 39　　 43　　 45　　 49
P＜＞ 3＋3，3＋5， 3＋7， 3＋11， 3＋13， 3＋17， 3＋19， 3＋23， 3＋29， 3＋31， 3＋37，3＋41，3＋43，3＋47
　　6　　 8　　 10　　 14　　 16　　 20　　 22　　 26　　 32　　 34　　 40　　 44　　 46　　 50
P＜＞ 5＋5，5＋7， 5＋11， 5＋13， 5＋17， 5＋19， 5＋23， 5＋29， 5＋31， 5＋37， 5＋41，5＋43，5＋47
　　10　　 12　　 16　　 18　　 22　　 24　　 28　　 34　　 36　　 42　　 46　　 48　　 52
P＜＞ 7＋7，7＋11， 7＋13， 7＋17， 7＋19， 7＋23， 7＋29， 7＋31， 7＋37， 7＋41， 7＋43，7＋47
　 14　　 18　　 20　　 24　　 26　　 30　　 36　　 38　　 44　　 48　　 50　　 54
P＜＞11＋11，11＋13，11＋17，11＋19，11＋23，11＋29，11＋31，11＋37，11＋41，11＋43，11＋47
　　22　 　24　　 28 　　 30　 　 34　　 40 　　 42　 　 48 　　 52　 　 54 　　 58
P＜＞13＋13，13＋17，13＋19，13＋23，13＋29，13＋31，13＋37，13＋41，13＋43，13＋47
　　26　　 30　 　 32　　 36 　　 42 　　 44　　 50 　　 54 　　 56　　 60
P＜＞17＋17，17＋19，17＋23，17＋29，17＋31，17＋37，17＋41，17＋43，17＋47
　　34　　 36　　 40　 　 46　　 48　 　 54　 　 58　 　 60　　 64
P＜＞19＋19，19＋23，19＋29，19＋31，19＋37，19＋41，19＋43，19＋47
　　38 　　42 　　 49　　 50　 　 56 　　 60　 　 62　　 66
P＜＞23＋23，23＋29，23＋31，23＋37，23＋41，23＋43，23＋47
　　46　　 52 　　 54 　　 60　　 64 　　 66　 　 70
P＜＞29＋29，29＋31，29＋37，29＋41，29＋43，29＋47
　　58 　　60　 　 66　　 70 72 　　 76
P＜＞31＋31，31＋37，31＋41，31＋43，31＋47
　　62 68 72 74 78
P＜＞37＋37，37＋41，37＋43，37＋47
　　74 78 80 84
P＜＞41＋41，41＋43，41＋47
　　82 84 88
P＜＞43＋43，43＋47
　　86 90
P＜＞47＋47
　　94

以此可知，既然X，Y都不是质数。则P的范围缩小到如下范围：
11，17，23，27，29，35，37，41，47，51，53，55，57，59，61，63，65，67，69，71，73，75，77，79，81，83，85，87，89，91，92，93，95

下面再讨论Q可能的情况：
Q既然是乘积，且乘数中不包含1，所以只能是合数，且必须有3个以上不同的质因数，否则P也有可能会只用唯一情况。而且，如果X和Y都大于25以后，Q的值是唯一的，如：Q＝650＝25＊26＝13＊50＝10＊65＝5＊130，除了第一种情况其他的乘数中都有大于50的。
所以，P的范围进一步缩小在11，17，23，27，29，35，37，41，47，51中间

我们先看如果P＝11时Q可能性
P＝11＝2＋9＝3＋8＝4＋7＝5＋6
Q＝2＊9＝18；Q＝3＊8＝24；Q＝4＊7＝28；Q＝5＊6＝30
如果Q先生知道的是18，则他听到了P先生的话以后，知道P先生手中的数字一定是上述10个数字中的一个。
而18＝2＊9＝3＊6，3＋6＝9，所以不可能是X＝3，Y＝6，那么Q先生一定可以猜到2和9，但Q先生：“我还是不知道。”
所以不可能是18。以此类推我们可以知道不是24，28，但有可能是30。因为30＝2＊15＝3＊10＝5＊6，其中只能排除一种3＋10的情况。
好了，我们可以看一下18，24，28，30有什么规律：
18＝2＊3＊3；24＝2＊2＊2＊3；28＝2＊2＊7；30＝2＊3＊5
也就是我前面说的Q既然是乘积，且乘数中不包含1，所以只能是合数，且必须有3个以上不同的质因数。
看一下经过两个人第一轮交谈后，Q可能的组合（括号中列出对应的XY组合）：
P＝11，Q＝30（2＊3＊5，X＝5，Y＝6）
P＝17，Q＝30（2＊3＊5，X＝2，Y＝15），Q＝60（2＊2＊3＊5，X＝5，Y＝12），Q＝66（2＊3＊11，X＝6，Y＝11），Q＝70（2＊5＊7，X＝7，Y＝10）
P＝23，Q＝42（2＊3＊7，X＝2，Y＝21），Q＝60（2＊2＊3＊5，X＝3，Y＝20），Q＝90（2＊3＊3＊5，X＝5，Y＝18），Q＝102（2＊3＊17，X＝6，Y＝17），Q＝120（2＊2＊2＊3＊5，X＝8，Y＝15），Q＝126（2＊3＊3＊7，X＝9，Y＝14），Q＝130（2＊5＊13，X＝10，Y＝13），Q＝132（2＊2＊3＊11，X＝11，Y＝12）
P＝27，Q＝110（2＊5＊11，X＝5，Y＝22），Q＝126（2＊3＊3＊7，X＝6，Y＝21），Q＝140，Q＝170，Q＝180（2＊2＊3＊3＊5，X＝12，Y＝15），Q＝182
P＝35，Q＝66（2＊3＊11，X＝2，Y＝33），Q＝150，Q＝196，Q＝234，Q＝264，Q＝286（2＊11＊13，X＝13，Y＝22），Q＝294，Q＝300（2＊2＊3＊5＊5，X15，Y＝20），Q＝306
P＝37，Q＝70，Q＝132，Q＝210（2＊2＊3＊5＊7，X＝7，Y＝30），Q＝252，Q＝270（2＊3＊3＊3＊5，X＝10，Y＝27），Q＝286，Q＝300，Q＝312，Q＝322，Q＝330，Q＝336，Q＝340，Q＝342
P＝41，Q＝78，Q＝114，Q＝180，Q＝210，Q＝238，Q＝264，Q＝330，Q＝364，Q＝378，Q＝390，Q＝408，Q＝414，Q＝418，Q＝420
P＝47，Q＝90，Q＝132，Q＝210，Q＝280，Q＝312，Q＝396，Q＝420，Q＝442，Q＝462，Q＝480，Q＝532，Q＝540，Q＝546，Q＝552
P＝51，Q＝230，Q＝270，Q＝378，Q＝440，Q＝468，Q＝494，Q＝540，Q＝560，Q＝594，Q＝630

先不要晕倒，因为Q的值不唯一，所以，Q只能等于：
30， 60， 66， 70， 90， 126， 132， 180， 210， 270， 286， 300， 312， 330， 378， 540

如果我们把这些值放到一个矩阵当中，就可以发现
Q 30 60 66 70 90 126 132 180 210 270 286 300 312 330 378 540
P ----------------------------------------------------------
11 I#
17 I# # # #
23 I # # # #
27 I # #
35 I # # #
37 I # # #
41 I # # #
47 I # # #
51 I # #

从这个表中可以看出P先生能够确定，而Q先生不能确定的只有一种可能，就是P手中的是11，也就是X＝5， Y＝6这种情况，多以当P先生说:“现在我知道了。”的时候，Q先生马上也会猜出：“我也知道了。”

Q＝2＊5＊7， 2＊2＊5＊7， 2＊2＊2＊5＊7...2＊2＊2＊2＊2＊2＊＊5＊7， 共6个数字
Q＝2＊7＊11， 2＊2＊7＊11， 2＊2＊2＊7＊11...2＊2＊2＊2＊7＊11， 共4个数字
Q＝2＊11＊13， 2＊2＊11＊13， ...2＊2＊2＊2＊11＊13， 共4个数字
Q＝2＊13＊17，...2＊2＊13＊17， 共2个数字
Q＝2＊17＊19，...
Q＝2＊19＊23，...
（注意2＊23＊29以后就会使X或Y超过50）