Question

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+1的图像过点(1,4),且对于任意实数x,不等式f(x)＞=4x.（一）求函数解析式。

（二）设g(x)=kx+1,若F(x)=log2[g(x)-f(x)]在区间[1,2]上是增函数，求实数k的取值范围。

Answer 1

f(1)=a+b+1=4, a+b=3
f(x)-4x=ax^2+(b-4)x+1>=0
a>0,delta=(b-4)^2-4a<=0,
b^2-8b+16-4(3-b)<=0
b^2-4b+4<=0
(b-2)^2<=0
所以 b=2, a=1

f(x)=x^2+2x+1=(x+1)^2
y=g(x)-f(x)=kx+1-(x+1)^2, [1,2] 上为增函数
y'=k-2(x+1)>=0, x<=k/2-1
x<=k/2-1为增函数，
k/2-1>=2, k>=6
又因为定义域y(1)=k+1-4=k-3>0, k>3
y(2)=2k+1-9>0, k>4
因此综合得：k>=6