Question

求2011成都中考数学28题（3）小问解答过程。（要用初中的知识解答）

如图，在平面直角坐标系 中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知 ， ，△ABC的面积 ，抛物线
经过A、B、C三点。
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)设E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH．则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；
(3)在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使△MBC中BC边上的高为 ？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由

Answer 1

解：（1）∵|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，
设OA=m，则OB=OC=5m，AB=6m，
由△ABC= AB×OC=15，得 ×6m×5m=15，解得m=1（舍去负值），
∴A（-1，0），B（5，0），C（0，-5），
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-5），将C点坐标代入，得a=1，
∴抛物线解析式为y=（x+1）（x-5），
即y=x2-4x-5；

（2）设E点坐标为（m，m2-4m-5），抛物线对称轴为x=2，
由2（m-2）=EH，得2（m-2）=-（m2-4m-5）或2（m-2）=m2-4m-5，
解得m=1± 或m=3± ，
∵m＞2，∴m=1+ 或m=3+ ，
边长EF=2（m-2）=2 -2或2 +2；

（3）存在．
由（1）可知OB=OC=5，
∴△OBC为等腰直角三角形，直线BC解析式为y=x-5，
依题意，直线y=x+9或直线y=x-19与BC的距离为7 ，
将直线解析式与抛物线解析式联立，求M点的坐标即可．
∴M点的坐标为（-2，7），（7，16）．

追问

我是想要具体过程，就是想看下你们是怎样想的，怎样的一个思路，有没有其它更好的解法。

追答

分析（1） 由已知设OA=m，则OB=OC=5m，AB=6m，由△ABC= AB×OC=15，可求m的值，确定A、B、C三点坐标，由A、B两点坐标设抛物线交点式，将C点坐标代入即可；
（2）设E点坐标为（m，m2-4m-5），抛物线对称轴为x=2，根据2（m-2）=EH，列方程求解；
（3）存在．因为OB=OC=5，△OBC为等腰直角三角形，直线BC解析式为y=x-5，则直线y=x+9或直线y=x-19与BC的距离为7 ，将直线解析式与抛物线解析式联立，求M点的坐标即可．
本题考查了二次函数的综合运用．关键是采用形数结合的方法，准确地用点的坐标表示线段的长，根据图形的特点，列方程求解，注意分类讨论．

Answer 2

你能给出题么……

Answer 3

给题呀