Question

求不定方程2^x+3^y=z^2的非负整数解

Answer 1

z为奇数，因此其平方被4除余1.
因此y为偶数2p，否则3^y被4除余3.
2^x+3^(2p)=z^2
2^x=(z+3^p)(z-3^p)，所以有：
z+3^p=2^n
z-3^p=2^(x-n), n>x-n, n>x/2
两式相减得：
2*3^p=2^(x-n)[2^(2n-x)-1]，即3^p=2^(x-n-1)[2^(2n-x)-1]
所以有：x-n-1=0, n=x-1,
3^p=2^(2n-x)-1=2^(x-2)-1, 此方程只有两组解：p=1, x=4; p=0, x=3,
所以有两组解：
x=3, y=0, z=3
x=4,y=2,z=5

Answer 2

（一）先讨论x>=2的情况
2^x+3^y=3^y=z^2=1(mod 4)
故y必为偶数设y=2t
2^x=[z+3^t][z-3^t]
=>z+3^t=2^m,z-3^t=2^n
=>2*3^t=2^m-2^n=2^n[2^(m-n)-1]
=>n=1,2^(m-1)-1=3^t
现在来解2^a=3^b+1 （1）
b<=1有b=0,a=1,b=1,a=2两组解
若b>=1,则a>=2
显然a必须为偶数
[2^a-1][2^a+1]=3^b
2^a-1=3^n'
2^a+1=3^m'
=>3^n'[3^(m'-n')-1]=2
显然n'=0,3^(m'-n')=3=>n'=0,m'=1=>a=2,b=1
也即方程（1）只有两组解(2,1)(1,0)两组解
（3）由（二）可知m-1=2,t=1或者m-1=1,t=0
=>(m,t)=(3,1)或(2,0)
=>(z,t)=(5,1)或(3,0)=>(z,y)=(5,2),(3,0)
（4）现在来讨论x<2的情况
若x=0,(z+1)(z-1)=3^y=>z+1=3^m,z-1=3^n
从而有3^m-3^n=2=>n=0,m=1
从而z=2,y=1,x=0
若x=1=>2+3^y=z^2
注意到z为奇数所以z^2=1(mod 4)=>3^y=-1(mod 4)
所以y=2t+1=>2+3Y^2=Z^2
然Z^2=1(mod 3),而2+3Y^2=2(mod 3)
故此方程没有解

综上所述(x,y,z)=(4,2,5),(3,0,3)(2,1,0)一共三组解