Question

高等代数题目求助

1、给出了三阶相似矩阵AB A=Σ(aij)其中a22=x B是对角矩阵b22=y 其他元素都是已知的数字 怎么确定xy （给出解题方法就可）

2、怎样把一个已知的三阶矩阵化为约当标准型

3、三阶矩阵 1 2 2；2 1 2；2 2 1。T'AT=D 其中T为正交矩阵。求T与D

4、欧式空间中a不等于b 求证 ab的内积（a，b）不等于1

5、f为线性空间V上的线性变换 W是V的子空间 f（W）={f（a）！a属于W}（！为竖线）
求证dimf(W)+dim(f^-1(0)交W)=dimW

Answer 1

1. 由于AB相似，故两个矩阵的特征值相等。
即A的特征值就等于B的三个对角元（其中两个已知，其余一个就是要求的）。
所以先建立A的特征方程，然后把它解出来，就可以。
2. 先求他的多项式因子，从而求出不变因子。然后从而得出Jordan标准型（具体的可以参考课本）
3. 先求A的特征值和特征向量，然后对三个特征向量进行Smidth正交化。
然后以三个特征向量（已经正交化好的）为列向量的矩阵就等于T，D就是以特征值为对角元的对角矩阵。结果为
T=
( -1/sqrt(2) 1/sqrt(6) 1/sqrt(3)
1/sqrt(2) 1/sqrt(6) 1/sqrt(3)
0 -2/sqrt(6) 1/sqrt(3) )
D=(-1 0 0
0 -1 0
0 0 5)
4.命题可能有错。令 a=(1,3) b=(4,-1)则 (a,b)=1且a不等于b
5. 这就是维数公式。具体证明在课本里。
我这里只给个大概的思路。
取f^-1(0)的一组基a1,...ar，然后把它扩充为V的一组基a1,a2,....an
然后设法证明f(a(r+1)),...f(an)线性无关，故为f(W)的一组基。得证。
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