Question

高中数学选修1-2的有关问题

设正数列an前n项和为Sn,且存在正数t，使得对所有正整数n有根号（tSn)=（t+an)/2,则通过归纳推测可得到Sn=多少？

答案是：tn²，可我不知道解题过程，希望高手指教！

Answer 1

归纳，就是s1、s2......一个个算，然后总结规律。
n=1时，√（ts1)=（t+s1)/2, 4ts1=(t+s1)^2, 0=(t-s1)^2, 所以s1=t。
n=2时，√（ts2)=（t+s2-s1)/2, 4ts2=(t+s2-t)^2, 所以s2=4t。
n=3时，√（ts3)=（t+s3-s2)/2, 4ts3=(t+s3-4t)^2, 0=(s3-t)(s3-9t), 因为an是正数列，所以s3=t舍去，s3=9t。
可以再算下去，归纳得sn=tn²

Answer 2

由根号（tSn)=（t+an)/2，
可得：根号]tS(n-1)]=]t+a(n-1)]/2
Sn=（t+an)^2/4t，(1)
S(n-1)=[t+a(n-1)]^2/4t，(2)
(1)-(2): an=[2t+an+a(n-1)]*[an-a(n-1)]/4t
展开后得：
[t+a(n-1)]^2 =(an-t)^2
两边开根号
1、如两边同正负，则an=a(n-1)+2t
a1=s1=t, 则sn=tn²
2、如两边不同正负：则 an=-a(n-1)，与题设的正数列不符，舍去