Question

如图,在△ABC中,AD是∠BAC的角平分线,且AE=AF,ME‖AD,若点M是BC的中点,求证:BE=CF

如图,在△ABC中,AD是∠BAC的角平分线,且AE=AF,ME‖AD,若点M是BC的中点,求证:BE=CF=1/2（AB+AC)

Answer 1

过B作BN‖AC交AD的延长线于点N，
则 ∠N=∠CAD=∠BAD，所以，AB=BN。
因为 BN‖AC，所以，△BDN相似△CDA，所以，BD：CD=BN：AC=AB：AC。——（1）
因为 ME‖AD，所以，AB：BE=BD：BM，CF：AC=CM：CD。
两式相乘，得 （AB*CF）：（BE*AC）=（BD*CM）：（BM*CD）
因为 BM=CM，所以，BD：CD=（AB*CF）：（AC*BE），
再由（1），得，CF：BE=1，即BE=CF。

追问

如图,在△ABC中,AD是∠BAC的角平分线,且AE=AF,ME‖AD,若点M是BC的中点,求证:BE=CF=1/2(AB+AC)

追答

这里的AE=AF的条件是重复的，有角平分线和平行就可以得出它。
由AB：BE=BD：BM，CF：AC=CM：CD得
AB/BE=BD/BM，CD/CM=AC/CF，
把CM换成BM，CF换成BE，于是有
AC/BE=CD/BM，
所以，（AB+AC）/BE=（BD+CD）/BM=BC/BM=2，
所以，BE=1/2(AB+AC)。

Answer 2

过B作BN‖AC交AD的延长线于点N，
则 ∠N=∠CAD=∠BAD，所以，AB=BN。
因为 BN‖AC，所以，△BDN相似△CDA，所以，BD：CD=BN：AC=AB：AC。——（1）
因为 ME‖AD，所以，AB：BE=BD：BM，CF：AC=CM：CD。
两式相乘，得 （AB*CF）：（BE*AC）=（BD*CM）：（BM*CD）
因为 BM=CM，所以，BD：CD=（AB*CF）：（AC*BE），
再由（1），得，CF：BE=1，即BE=CF。
延长CA到P使AP=AB连接BP,
因为AB=BP所以BP‖EM,
AB+AC=AP+AC=CP
因为M是BC的中点所以F为CP的中点
所以CF=1/2CP=1/2(AB+AC)

Answer 3

因为AD是∠BAC的角平分线，AB/BD = AC/CD（1）

ME‖AD，故△ABD与△AEM相似：BE/AB = BM/BD， 得BE = 1/2*BC* AB/BD（点M是BC的中点）
ME‖AD，故△CFM与△CAD相似：CF/AC = CM/CD， 得CF= 1/2*BC* AC/CD（点M是BC的中点）
结合（1）有：BE=CF

2、
如图,在△ABC中,AD是∠BAC的角平分线,且AE=AF,ME‖AD,若点M是BC的中点,求证:BE=CF=1/2(AB+AC)
BE=AB+AE=CF
CF=AC-AF
BE+CF=2BE=2CF=AB+AC
故：BE=CF=1/2(AB+AC)

Answer 4

你的三角形图呢？没图怎么解答！

追问

上面有