Question

一道概率论的题目，求答案。

题目为：
随机变量X,Y相互独立，且都服从正态分布N（0，Z²），记U=aX+bY,V=aX-bY(a,b为不相等的常数），求U,V的相关系数Ρuv.

求答案，有点麻烦，确定下对不对。
PS：要是把容易错的地方说出，或者有什么技巧也说出的我会追加分数。

Answer 1

(a^2-b^2)/(a^2+b^2)
首先用相关系数的公式，分子的协方差把它写成4项，然后有两项相互抵消了，分子是两个方差开根号相乘，再利用方差的公式就可以得到。主要是用公式，没有什么技巧，做的时候注意要是相互独立这个条件就简单了

Answer 2

解答：
依据题意有E（X）=E（Y）=0，D（X）=D（Y）=Z²
则E（U）=E（aX+bY）=0，E（V）=E（aX-bY）=0
D（U）=D（aX+bY）=（a²+b²）Z²，D（V）=D（aX-bY）=（a²+b²）Z²
E（UV）=E（a²X²-b²Y²）=a²E（X²）-b²E（Y²）
=a²Z²-b²Z²
Cov（U，V）=E（UV）-E（U）E（V）=（a²-b²）Z²
ρUV=Cov（U，V）/√（（Du）（Dv））=（a²-b²）Z²/（a²+b²）Z²=（a²-b²）/（a²+b²）