Question

椭圆长轴端点为A,B,O为椭圆中心,F为椭圆的右焦点,且向量AF乘以向量FB=1,｜向量OF｜=1(椭圆焦点在X轴上)

(1)求椭圆的标准方程
(2)记椭圆的上顶点为M,直线l交椭圆于P,Q两点,问:是否存在直线l,使点F恰为三角形PQM的垂心?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.

Answer 1

A(a，0) B(-a，0)
F(1,0)
点击一下得a2=2
c2=1 那么b2=1
所以方程二分之x2+y2=1
有垂心的定义可得，直线的斜率为1
设直线的斜率为y=x+b
和椭圆联立
得3x2+4bx+（2b2-2）=0
设P为（x1，y1）
Q为（x2，y2）
QF向量点击MP向量为0可得
x1（x2-1）+y2（y1-1）=0
用y=x+b
将y1和y2代掉得到：
以及两根之和两根之积得到：
最后化简得到：3b2+b-4等于零
的b1=1 b2=-4/3
b1=1舍去
b2=-4/3符合条件
综上：所以存在y=x-4/3

Answer 2

1.向量of=1，则c=1.可设a点为（-a，0）b点为（a，0），则向量af=（1+a，0）bf=（a-1,0）
列等式相乘为1，解得a的平方等于2，又由c=1得c的平方等于1，所以，b的平方等于1
所以，椭圆方程为x^2比2+y^2等于1