设A为m×n矩阵,证明AX=Em有解的充要条件是R(A)=m
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证明: 必要性:
因为AX=Em有解
所以Em的列向量组可由A的列向量组线性表示
所以 m = r(Em) = Em的列秩 <= A的列秩 = r(A)
即 r(A) >= m
而 A 只有m行, 所以 r(A)<=m
故 r(A)=m.
充分性:
因为 r(A)=m
所以A的列秩 = m
所以任一m维列向量都可由A的列向量组线性表示
特别地有: Em的列向量都可由A的列向量组线性表示
故存在矩阵X, 满足 Em = AX.
即 AX=Em 有解 #
因为AX=Em有解
所以Em的列向量组可由A的列向量组线性表示
所以 m = r(Em) = Em的列秩 <= A的列秩 = r(A)
即 r(A) >= m
而 A 只有m行, 所以 r(A)<=m
故 r(A)=m.
充分性:
因为 r(A)=m
所以A的列秩 = m
所以任一m维列向量都可由A的列向量组线性表示
特别地有: Em的列向量都可由A的列向量组线性表示
故存在矩阵X, 满足 Em = AX.
即 AX=Em 有解 #
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黄先生
2024-12-27 广告
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本回答由黄先生提供
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