Question

在△ABC中，∠A=60°，BC=1，求证AB+AC≤2

Answer 1

由三角形正弦定理有
AB : sinC = AC : sin B = BC : sinA
整理得
AB = BC*sinC/sinA
AC = BC*sinB/sinA
则
AB+AC = (sinC+sinB)*BC/sinA = 2*sin((B+C)/2)*cos((B-C)/2)/sinA (利用了和差化积公式)
又A+B+C=180°, sin((B+C)/2) = sin(90°-A/2) = cos(A/2) = cos30° = sin60° = sinA
所以
AB+AC = 2*cos((B-C)/2)
因为 cos((B-C)/2) ≤ 1
所以 AB+AC ≤ 2
证明毕。

追问

能不能不用正弦定理……我才上初二啊

追答

可以，但是得用相似证明，还得作图、画三条辅助线。写起来很麻烦。而且图片上传的话百度审核时间太长，等你看到结果得好几天之后了……

追问

那我等着吧

追答

你给个邮箱，做完之后给你发邮箱吧。免得上图麻烦

追问

minglingmaster@163.com

追答

还是发在这儿吧。
图很简单，我就不贴在这儿了，你自己按照我的证明过程自己稍微一画就出来了。

证明：
若AB=AC，则三角形ABC必为正三角形，AB=AC=BC=1，则AB+AC=2
若AB不等于AC，那么不妨设 AB > AC
过C向AB做垂线，垂足为D。
在Rt△ADC中，∠A=60°，所以由勾股定理等有 AD = AC/2，CD = AC*(√3)/2
在Rt△BDC中，由勾股定理有： BD^2 + CD^2 = BC^2
将 CD = AC*(√3)/2，BD = AB - AD = AB - AC/2，BC = 1代入上式，整理可得
AB^2 - AB*AC + AC^2 = 1
对上式变换可得两个结果
(AB - AC)^2 = 1 - AB*AC (1)
(AB + AC)^2 = 1 + 3*AB*AC (2)
因为 AB > AC，所以 (AB - AC)^2 > 0，故由(1)可得： AB*AC < 1
代入到(2)中，有 (AB + AC)^2 < 1+ 3*1 = 4
所以 AB + AC < 2

综上所述，所以一定有 AB + AC ≤ 2
证明毕。