Question

一道几何题求解，需详细过程

正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直。
（1）证明Rt△ABM相似Rt△MCN；
（2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；
（3）当M点运动到什么位置时Rt△ABM相似Rt△AMN，求x的值。

Answer 1

(1) ∵∠AMN=90°
∴∠AMB+∠CMN=90°
又∵∠BAM+∠BMA=90°
∴∠BAM=∠CMN
∠B=∠C=90°
所以Rt△ABM∽Rt△MCN
（2）
BM=x AB/MC=BM/CN
∴ CN=MC*BM/AB=X(4-X)/4
Y=(AB+CN)BC/2
Y=-1/2X²+2X+8 (0<X<4)
(3)
当M是BC的中点时 Rt△ABM∽Rt△AMN
此时X=2
BM=MC=2 MC=1 用勾股定理得 MN=√5 AM=2√5
∴ AB/BM=AM/MN
∴Rt△ABM∽Rt△AMN

Answer 2

（1）证明：∵∠AMB+∠CMN=∠BAM+∠AMB=90° ∴∠BAM=∠CMN 又因∠B=∠C 所以他们相似
（2）又第一题知道那两个三角形相似，∴ BM ÷CN=4÷（4 - BN） 可以求出CN= ¼（4x-x²）求出梯形面积=（x-¼x²+4)×2=2X - ½X² +8
（3）第三提你可以这样做，假如那两个三角形相似，所以你假设此时∠MAN=∠MAB 根据相似用对边成比例 可以求出边BM 第二种是假设∠MAN==∠AMB此时 也是用相似边成比列 求出BM
因为我没有笔。第三题计算过程有点复杂，我口算有点难，所以我把方法给你说了。。你自己去计算吧。。

Answer 3

1) ∵∠AMN=90° ∴∠AMB+∠CMN=90°
又∵∠BAM+∠BMA=90°
∴∠BAM=∠CMN
∠B=∠C=90°
所以Rt△ABM∽Rt△MCN