Question

△ABC中,向量BC·向量CA=向量CA·向量AB,求证:△ABC是等腰三角形

Answer 1

证法一：
∵向量BC·向量CA＝向量CA·向量AB，∴｜BC｜｜CA｜cos∠C＝｜CA｜｜AB｜cos∠A
∴｜BC｜cos∠C＝｜AB｜cos∠A
过B作BD⊥AC交AC于D，则｜AD｜＝｜AB｜cos∠A，｜CD｜＝｜BC｜cos∠C，
∴｜AD｜＝｜CD｜，∴｜AB｜＝｜BC｜，∴△ABC是等腰三角形。

证法二：
∵向量BC·向量CA＝向量CA·向量AB，∴｜BC｜｜CA｜cos∠C＝｜CA｜｜AB｜cos∠A
∴｜BC｜cos∠C＝｜AB｜cos∠A
由正弦定理，有：｜BC｜/sin∠A＝｜AB｜/sin∠C
上述两式相除，得：1/（sin∠Acos∠C）＝1/（cos∠Asin∠C），
∴sin∠Acos∠C＝cos∠Asin∠C，∴tan∠A＝tan∠C，∴∠A＝∠C，∴△ABC是等腰三角形。

Answer 2

作BD⊥AC于D，

向量BC×向量CA=向量CA×向量AB

-|BC||CA|cosC=-|CA||AB|cosA

|BC|cosC=|AB|cosA

根据投影的定义可知：AD=CD

由此可知，AB=BC，等腰三角形