Question

高中立体几何题一道（有图）

如图，底面ABCD为矩形，等边△FDC垂直于底面ABCD，E为BC上一点，P为底面ABCD外一点，PE⊥BC，PF⊥FC，异面直线PF与AD夹角的余弦值和异面直线PE与FC的夹角的余弦值相等
①求证PF=PE ②求∠FEC度数

此题用坐标系好证，还是几何法好证呢 要过程，两问 高悬赏
大家真的很迷茫吗？
其实此题真正的原题是：已知底面ABCD为任意凸四边形，△FDC为任意锐角三角形，CF⊥BC，PE⊥FC，PE⊥BC，PF与BC夹角余弦值和PE与FC夹角余弦值相等，求以上两问
以上题是原题特殊化了的，这个才是取一般化的原题，如果上面那个还做不出的话，别提原题了
提示：夹角余弦值相等其实就是夹角角度相等，因为夹角度数在0~90°，所以确定的余弦值对应唯一角度，这回大侠们在帮帮忙，再看看这题吧

Answer 1

我只会几何法……简化的题目中的确很多条件用不着。简化题解法如下：
作辅助线连接经过P点，平行于AD, 并交CD延长线与G点，则四边形PECG也是矩形，则有PE=CG。连接GF，留意三角形PEG和三角形GFC。现在我们只需要证明这两个三角形全等，那么就立刻得到PF=CG=PE。
第一问：CD//PE，所以异面直线PE与FC的夹角=∠DCF，
同时PG//AD，所以异面直线PF与AD=∠PGF，则有∠PGF=∠DCF。已知PF⊥FC, BC垂直于面DCF，则FC⊥BC，所以FC垂直于两条相交直线，则FC垂直于面PFG，所以CF垂直于FG。根据共同边FG，可得三角形PEG和三角形GFC全等，所以有PF=CG=PE。第二问，根据那对全等三角形得CF=PG=CE，且BC⊥FC。可知三角形FEC是等腰直角三角形。

至于原版，思路不太一样，但是连接PC，证明三角形PFC和PCE全等看看？

追问

请您详细叙述一下辅助线做法，我有些看不懂

追答

画条平行于AD的线PG，与CD的延长线交于G点

追问

PG平行于AD，那么PG与AD的延长线异面，它们两怎么会交于一点G呢？

追答

PG与CD的延长线相交，不是AD... PG 和矩形ABCD在同一平面

追问

那更奇怪了，P在矩形ABCD上方，是空间上的异面，您是不是把P点看做和矩形ABCD共面了？不是的，P在矩形ABCD上方，他们在空间上不在一个平面内

追答

哦，看错了，不过所幸，P点在不在ABCD面上，情况都一样。还是做PG平行于BC，然后交面FCD于G点（这回不经过D点了）。连接CG，GF。首先，PG//BC，BC⊥FCD，得PG⊥FCD。所以PG⊥GC，则可以证明PGEC是矩形。PE//CG。然后也是证明三角形PGF和三角形FCG全等。

Answer 2

作辅助线连接经过P点，平行于AD, 并交CD延长线与G点，则四边形PECG也是矩形，则有PE=CG。连接GF，留意三角形PEG和三角形GFC。现在我们只需要证明这两个三角形全等，那么就立刻得到PF=CG=PE。
第一问：CD//PE，所以异面直线PE与FC的夹角=∠DCF，
同时PG//AD，所以异面直线PF与AD=∠PGF，则有∠PGF=∠DCF。已知PF⊥FC, BC垂直于面DCF，则FC⊥BC，所以FC垂直于两条相交直线，则FC垂直于面PFG，所以CF垂直于FG。根据共同边FG，可得三角形PEG和三角形GFC全等，所以有PF=CG=PE。第二问，根据那对全等三角形得CF=PG=CE，且BC⊥FC。可知三角形FEC是等腰直角三角形。记得给我悬赏分哦

追问

禁止抄袭

Answer 3

采用建立空间直角坐标系的方法最直观，也比较简单。
解：过F作DC得垂线交DC于M，过M作AB的垂线交AB于N，分别以FM,DC,MN所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系。

然后就很简单了。

追问

呵呵 这位兄弟，您这坐标系建立的确实很简单，但是我想问，您怎么设数呢
况且原题中没有等边三角形和矩形的条件，这道题也成立

Answer 4

建议取PF,PE，CF,CE中点有帮助，第二问45度，手机党表示不详细说了。

追问

取中点然后呢？手机不方便的话，在百度HI网页版上告诉我吧

Answer 5

你现在上几年级

Answer 6

PE⊥FC。。。题有问题吧？