Question

求数学高手解决均值不等式的问题

最近学了不等式，觉得很奇怪，有的题目里面a+b<=1/2(a+b)^2 在 a,b 都为非负数的时候是恒成立的 不需要a+b是定值 但是有的题目里面却要a+b为定值，不然就算错了，一定要按照那种一正二定三相等这种来。 但是有的题目却不用
请告诉我为什么？
例题， ab=a+b+3 求a+b的取值范围， 这道题目，老师解法是
直接a+b+3=ab<=((a+b)/2)^2 但是好奇怪， 这个均值不等式不是要求a+b 为定值麽。 为什么就直接用下去了？ 题目也没有说a+b是定值啊

Answer 1

是这样的，如果只需证明一个不等关系，则可以去掉三相等，因为所证结论中等于与大于小于是“或”的关系，但是也最好指出取等条件，因为这往往是占分的；若是求最值，则必须能够取等，如果取都取不到，还谈什么最值呢。“这是很自然的”——我们数学老师的经典语录。
对于定值的问题，其实也不难理解，只有a+b是定值 ，所求出的才是真真正正的能够取到的“最值”
希望能解开你的疑惑。

追问

我的那个例题中， 要求a+b 的取值范围， 这个不就是变向求最值麽？ 他没有说a+b是定值啊.
还有 因为所证结论中等于与大于小于是“或”的关系 这句话不理解

追答

a+b+3=ab<=((a+b)/2)^2 ,这本身就是一个客观存在的关系，正是借助这个关系，才建立了a+b+3<=((a+b)/2)^2 这个不等式，通过借这个不等式得出答案，此题和我上次说的最值问题类型完全不同。楼主思维要灵活些，不能死搬硬套，a+b+3<=((a+b)/2)^2 这是一个必要的约束条件，而a+b是变数，无论a+b取何值，都必须满足这个约束条件，因此是求这个约束条件下a+b的最值，本质上就是解不等式。再者，要求a+b 的取值范围，a+b要是定值，还求什么范围啊？
因为所证结论中等于与大于小于是“或”的关系，意思是如果a<b，则a<=b也正确，<=的含义是小于或等于，而对于命题p或q，有一个正确，就可以说p或q（整体命题）正确
祝楼主学有所成。

还没想明白？？？

Answer 2

如果题目中有说明，a,b是常数的话，也是可以的。你最好举一个例子~

追问

我举例子了，你看看

Answer 3

很多不等式都是这样的 题目往往是凑好的 出题者的目的就是让你这样做

Answer 4

我已经两年没有看过中学的数学了，你能否举个例子

追问

举了