Question

高一数学题

已知二次函数f（x）=ax2-1/2x+c满足当x=1时取得最小值0。 若存在实数m，是函数g（X)=f（x）-mx在区间【m.m+2】上有最小值-5，求出实数m的值。

Answer 1

由“已知二次函数f（x）=ax2-1/2x+c满足当x=1时取得最小值0。”知道-(-1/2)/2a =1, 所以a=0.25
代入得到f(1)=0.25-0.5+c=0 所以c=0.25
g(x)=0.25x^2-(0.5+m)x +0.25
g(x)的最小值在(0.5+m)/2*0.25=1+2m处取得
如果m<=1+2m<=m+2，则-1<=m<=1最小值为g(1+2m) = 0.25(1+2m)^2 - 0.5(1+2m)^2 +0.25=0.25-0.25(1+2m)^2 =-5, 1+2m=正负根号21，不在范围内

如果1+2m<m则m<-1，最小值在x=m处取得，得到g(m)=0.25m^2-(0.5+m)m +0.25=-0.75m^2-0.5m +0,25 = -5
3m^2 +2m -21=0, (3m-7)(m+3)=0 推出m=-3

如果1+2m>m+2，则m>1, g(x)在x=m+2处取得最小值
g(m+2) = 0.25(m+2)^2-(0.5+m)(m+2)+0,25 = -0.75m^2-1.5m +0.25=-5
m^2+2m -7=0, m = 0.5(-2 + 4根号2)
所以m=-1+2根号2或者m=-3

Answer 2

对称轴为x=1,a=1/4
f(1)=0,解得c=1/4
g(x)=x^2/4-(1/2+m)x+1/4对称轴为x=2m+1
①若2m+1<m,即m<-1,x=m时g(x)有最小值,最小值为g(m)=-5
即3m^2+2m-21=0,解得m=-3或7/3(舍去)
②若2m+1>m+2,即m>1,x=m+2时g(x)有最小值,最小值为g(m+2)=-5
即m^2+2m-7=0,解得m=-1+2√2或-1-2√2(舍去)
③m≤2m+1≤m+2,即-1≤m≤1,x=2m+1时g(x)有最小值,最小值为g(2m+1)=-5
即m^2+m-5=0,解得m=[-1±√(21)]/2不属于[-1,1],故不合题意
综上可知：m=-3或-1+2√2