Question

求这个微分方程的通解

（2x+3y）y'-y=0

Answer 1

方法1：
dy / dx = y / (2x + 3y)
dx / dy = (2x + 3y) / y = 2x / y + 3 ①
设x / y = t，则x = yt； dx = ydt + tdy
由① ，dx / dy = ydt/dy + t = 2t + 3
ydt/dy = t + 3
dt / (t + 3) = dy / y
Ln(t+3) = Lny + C1
t + 3 = e^C1 * y = C* y
x/y = Cy - 3
x = Cy² - 3y

方法2：
由① x ' - (2 / y) * x = 3
属于典型的一阶线性常微分方程：
y ' + P(x) y =Q(x)
通解为： y = e^(-∫Pdx) * [∫Q * e^(∫Pdx)dx + C] ---------遗憾的是公式不容易看(书上有的)
---------这种方法是最快且不容易出错的，缺点是需要记忆，且计算量较大；
---------优点是一次就可以解出所需要的答案，不用考虑特解、解结构等；
---------所以尽量记牢；
对你给的这个来说： x ' - (2 / y) * x = 3
即 P = -2/y； Q(x) = 3
所以通解为： x = e^(∫2/ydy) * [∫3 * e^(-∫2/ydy)dy + C]
= y² * [∫3 / y²dy + C]
= y² * [ - 3/y + C ]
= - 3y + Cy²
答案，通解为： x = Cy² - 3y

方法3，一楼电灯剑客的方法也不错，但过程中需要处理分式

Answer 2

这个是齐次方程，做一步代换y(x)=x*t(x)，那么y'=t+xt'，然后两边同除掉x就可以得到可分离变量的方程，具体的你自己去算。

Answer 3

设y=xu y‘=xu’+u
所以原式化为
y‘=y/（2x+3y）
xu’+u=xu/（2x+3xu）=u/（2+3u）
xu’=-u（u+3）/（2+3u）
u‘（2+3u）/u（u+3）=1/(-x)
u'（(2/3u)+(7/3(u+3)))=1/(-x)
∫du*（(2/3u)+(7/3(u+3)))=∫dx/-x
即2/3lnu+7/3ln(u+3)=-lnx+lnC
即u^(2/3)*（u+3）^(7/3)*x=c
即（y/x）^(2/3)*（y/x+3）^(7/3)*x=c

Answer 4