Question

已知f(x)=2x+3,g(x)=x^2,如果任意x0∈[-2,a],存在x1∈[-2,a],使得g(x0)=f(x1),求实数a的取值范围

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Answer 1

【注：由题设可知，
实数a要满足的条件是：
在区间[-2,a]上，函数g(x)的值域包含于函数f(x)的值域内】
解：
易知，在区间[-2,a]上，函数f(x)=2x+3的值域为[-1, 2a+3]
【1】
当-2≤a≤0时，此时函数g(x)=x²的值域为[a², 4]
由题设应有a²＜4≤2a+3.
∴a≥1/2.与a≤0矛盾。
【2】
当0≤a≤2时，此时函数g(x)的值域为[0,4]
由题设应有4≤2a+3.===>a≥1/2
∴1/2≤a≤2
【3】
当a＞2时，此时函数g(x)的值域为[0,a²]
由题设应有a²≤2a+3===>-1≤a≤3
∴此时2＜a≤3.
综上可得：1/2≤a≤3

Answer 2

解：因为　g(x0)=f(x1),　所以2x1+3＝x0^2　　即：x1＝（x0^2－3）÷2
根据题意　　－2 ≤ x1 ≤ a　　即　－2 ≤（x0^2－3）÷ 2 ≤ a　　（1）
但同时根据题意有　　　　　　　－2 ≤ x0 ≤ a　　　　　　　 （2）
解此联立不等式有　　　－2 ≤（a^2－3）÷ 2 ≤ a
即：　　　　　　　　　a^2－2a－3 ≤ 0　 （3）
及　 （ a^2－3）÷ 2 ≥ －2　　　　　　（4）　
解（3）得　　　　　　　　　（a－3）(a+ 1) ≤ 0
　　　　　　　　　　　a1 ≥ 3 　a1 ≤ －1　　无交集　　　舍去
　　　或　　　　　　　a2 ≤ 3 　a2 ≥ －1 　 所以　　－1≤ a2 ≤ 3　
解（4）得　　　　　　　a^2 ≥ －1 即　　a 可以实数范围内取值
所以，a的取值范围为：　　　　　　　－1 ≤ a ≤ 3