Question

求解一道数学题：已知实数a.b.c满足a^+b^=1,b^+c^=2,c^+a^=2,则ab+bc+ca的最小值为？

有悬赏~

Answer 1

解： ∵a²＋b²＝1 ①
b²＋c²＝2 ②
c²＋a²＝2 ③
有②、③得： b²＋c²＝c²＋a²
∴b²＝a²
把b²＝a²代入①得；a²＝b²＝0.5
把a²＝b²＝0.5代入②得；c²＝1.5
ab+bc+ca＝[﹙a＋b＋c﹚²－﹙a²＋b²＋c²﹚]／2
=1/2[(a+b+c)²－﹙5/2﹚]
当﹙a＋b＋c﹚最小时；
1/2(a+b+c)²－﹙5/2﹚才是最小的
∴有两种情况
一种是 a＝b＞0 c＜0
另一种是 c＞0 a＝b＜0
① :a＝b＝√2／2 c＝﹣﹙√6／2﹚
∴a＋b＋c＝﹙2√2－√6﹚／2
∴1/2[(a+b+c)²－﹙5/2﹚]＝﹙1－2√3﹚／2
②a＝b＝﹣﹙√2／2﹚ c＝√6／2
∴1/2(a+b+c)²－﹙5/2﹚＝﹙1－2√3﹚／2
∵﹙2－2√3﹚／2＝﹙1－2√3﹚／2
综上所述：
∴﹙ab+bc+ca﹚min＝﹙1－2√3﹚／2＝0.5－√3

Answer 2

a2+b2=1, (1)
b2+c2=2, (2)
c2+a2=2 (3)
三式加后再除2得

a2+b2+c2=5/2 (4)
(4)减（1）得
C^2=3/2
(4)-(2)得
a^2=1/2
(4)-(3)得
b^2=1/2

c=-√6/2,a=b=√2/2时
ab+bc+ca最小=1/2-√3

Answer 3

由题设可求得
a²=b²=1/2. c²=3/2
∴a²b²=1/4 a²c²=b²c²=3/4
∴ab=±1/2. ac=±√3/2 bc=±√3/2
显然，当a,b异号，a,c同号时，
(ab+bc+ca)min=(1-√3)/2

Answer 4

“a^”这是a的多少次方？是n次方吗？

追问

a的平方

追答

a^+b^=1（1）,b^+c^=2（2）,c^+a^=2（3）
由（2）-（3）可得a^=b^
结合（1）、（2）可得
a^=b^=1/2, c^=3/2
∴a=±√2/2,b=±√2/2,c=±√6/2
∴ab+bc+ca的值可能是：
（1）a、b异号时，原式=—1/2
（2）a、b同号时，a、c同号，原式=1/2+√3
（3）a、b同号时，a、c异号，原式=1/2—√3
通过比较知：ab+bc+ca的最小值为：1/2—√3