Question

设∑是球面x^2+y^2+z^2=4,则曲面积分∮∫（x^2+y^2+z^2)dS=

我算到这ds=2/（4-x^2-y^2）^1/2dxdy
∫∫（x^2+y^2+z^2)dS=x^2+y^2+z^2)dS=∫∫4.2/（4-x^2-y^2）^1/2dxdy之后我就是极坐标换元那里有些不懂，帮忙详细说清楚一下步骤，对了还有一种方法代入球面方程∫∫（x^2+y^2+z^2)dS=∫∫4dS=4*4πR^2=16πR^2=64π ，有些看不懂麻烦也帮讲一下谢谢

Answer 1

∫∫4.2/（4-x^2-y^2）^1/2dxdy这一步应该找到积分区域，就是球面在xoy平面的投影，即x^2+y^2=4.
用极坐标令x=rcosθ，y=rsinθ则-π≤θ≤π，0≤r≤2，dxdy=rdrdθ，代入积分就可以。
而在球面x^2+y^2+z^2=4,显然有x^2+y^2+z^2=4成立，故∫∫（x^2+y^2+z^2)dS=∫∫4dS。因为积分是在球面上进行的，而不是在求面所包含的区域内进行。

Answer 2

高数曲面积分 ，设∑是球面x^2+y^2+z^2=a^2,则曲面积分(x+y+z)^2ds=?
原式=∫∫(x²+y²+z²+2xy+2yz+2xz)dS
=∫∫(x²+y²+z²)dS+∫∫2xydS+ ∫∫2yz dS+∫∫ 2xzdS
=∫∫a ²dS +0+0+0
=a² •4πa²
=4πa^4
注：1、∫∫(x²+y²+z²)dS=∫∫a ²dS （利用曲面积分可将曲面方程代入）
2、∫∫2xydS+ ∫∫2yz dS+∫∫ 2xzdS
=0+0+0 （利用曲面积分的对称性）

Answer 3

直接代入原式等于4倍的球的表面积，即64π。

Answer 4

极坐标x=rcosθ
y=rsinθ
z=z
dxdydz=rdrdθdz
球坐标x=rsinθcosφ 　　
y=rsinθsinφ
z=rcosθ
dxdydz=r^2sinθdrdθdφ