Question

证明，如果m是合数，则 2^m -1 也是合数。

Answer 1

首先一楼杀鸡焉用牛刀？？二楼证明2^m由于分解错误错得很可惜也很离谱。
运用公式x^n-1=(x-1)(x^(n-1)+x^(n-2)+……+x+1)来证明这道题。
当为合数时，记m=pq,其中p,q都不小于2，
则2^m=(2^p)^q,对上面的公式中令x=2^p,n=q,得到了
2^m-1=(2^p-1)((2^p)^(q-1)+……+2^p+1)
由于2^p-1同样不小于2，(2^p)^(q-1)+……+2^p+1)也不小于2，所以2^m-1为合数。
没想到我发出去之后，二楼已经改回来了，但是另一个很长的那项还是出现了笔误。

Answer 2

如果2^m-1是质数，那么m一定是质数。
这个定理当中，2^m-1就是麦森数（迈森素数）
具体证明可见http://wenku.baidu.com/view/aaa92244b307e87101f6968f.html
由于以上定理成立，因此其逆否定理成立，因此如果m是合数，则 2^m -1 也是合数。

Answer 3

若m是合数, m = pq, p≥2, q≥2
2^m-1 = 2^(pq)-1
= (2^p-1)(2^q+2^(q-1)+...+2+1)

2^p-1 > 2, 2^q+2^(q-1)+...+2+1 >2

2^m-1也是合数