Question

已知实数a，b，c，d满足：a＜b，c＜d，﹙a－c﹚﹙a－d﹚=1,(b－c)(b－d)=1,则a，b，c，d的大小关系是

跪求详细过程~~~~~答案是a＜c＜d＜b

Answer 1

1) a < b , c < d
2) (a-c)(a-d) = 1 (b-c)(b-d) = 1 则 (a-c)(a-d) = (b-c)(b-d)
两边展开后 a*a - a(c+d) + c*d = b*b - b(c+d) + c*d
a*a - a(c+d) = b*b - b(c+d)
a*a - b*b = a(c+d) - b(c+d)
(a+b)(a-b) = (a-b)(c+d)
a+b = c +d
所以你给出的条件等价于：
a < b , c< d , a+b = c+d

因为 a < b 则 b + b > a + b
又因为 d> c 则 c + d > c + c
所以 b + b > a+b = c + d > c+ c
所以 2*b > 2*c b > c

因为 a < b 则 a + a < a + b
又因为 d> c 则 c + d < d + d
所以 a + a < a+b = c + d < d + d
所以 2*a < 2*d a < d

由 (a-c)(a-d) = 1 可以说明 (a-c) 和(a-d)符号相同 又因为上面证明了 a < d 所以 a < c
由 (b-c)(b-d) = 1 可以说明 (b-c) 和(b-d)符号相同 又因为上面证明了 b > c 所以 b > d

所以存在如下关系：
1) a < b
2)c < d
3)a < d
4)c < b
5)a < c
6)d < b
由关系 5) 2) 6) 可以得到： a < c < d < b

Answer 2

很明显 ﹙x－c﹚﹙x－d﹚=1这个一元二次方程的解为a，b，a<b
x^2-(c+d)x+cd-1=0
a+b=(c+d)
a*b=cd-1

如果a，b有一个在区间（c，d）之内则 ﹙x－c﹚﹙x－d﹚<0 不合题意！
如果a，b在区间（c，d）之外的同一侧， 则a+b<>(c+d), 矛盾，不合题意！
故a，b在区间（c，d）之外的不同侧，又a<b， 则a＜c＜d＜b