Question

在三角形ABC中，角ABC=90度，AB=BC。如图，AD为BC边的中线，若角ADB=角CDE,求证：AD垂直BE

在三角形ABC中，角ABC=90度，AB=BC。如图，AD为BC边的中线，若角ADB=角CDE,求证：AD垂直BE

Answer 1

证法一：延长DE交平行于AB的直线CF与F
∵∠ADB=∠CDE
∠ABD=∠FCD=90°
BD=CD----------------------------D为BC的中点
∴ Rt△ABD≌Rt△FCD
∴CF=AB, ∠CFD=∠BAD--------------------------------①
延长BE交CF于G:
∵BC=AB=CF
∠BCE=∠FEC=45°
∴△BCE≌△FEC
∴∠CBE=∠CFE-------------------------------------------②
由①、②，且由于△ABD为直角三角形
∴ AD⊥BE
证法二：设AD和BE交于O，作辅助线BF⊥AC，交AC于F，交AD于G
因为：△ABC中,∠ABC等于90°,AB=BC，则∠C=∠FBC=45度
又因为：
CD=BD, ∠ADB=∠CDE,
所以 △CDE全等△BDG
所以 CE=BG
又因为：
AB=CB, ∠ABG=∠C,
所以 △ABG全等△BCE
所以 ∠AGB=∠BEC
所以 ∠BGO=∠BEF
△BEF和△BOG中，2个角相等，则第三个角相等，
∠BOG=∠BFE=90度
所以 AD⊥BE

追问

在三角形ABC中，角ABC=90度，AB=BC
如图，AD为BC边的中线，若AD垂直BE，求证角ADB=角CDE

追答

方法类似。
第一步，证三角形ABD全等于三角形BCG。得到角ADB=角G，BD=CG。
第二步，证三角形CDE全等于三角形CGE，得到角CDE=角G。从而角ADB=角CDE。