Question

A,B为4阶方阵r(A)=4,r（B)=3,A和B的伴随矩阵为A*,B*则r(A* B*)是

前方证A*可逆省略。
进而r(A*B*)=r(B*)。由于BB*=|B|E=0, 因而
r(B)+r(B*)小于等于4.
于是r(B*)4-r(B)=1。由于r(B)=3，因而|B|有一个非0的余子式Mij. 由于Aij是B*的非0元素，因而r(B*)1。于是r(B*)=1。

看不懂进而r(A*B*)=r(B*)。由于BB*=|B|E=0, 因而
r(B)+r(B*)小于等于4.

Answer 1

知识点: 对任一n阶方阵A
若 r(A) = n, 则 r(A*) = n.
若 r(A) = n-1, 则 r(A*) = 1.
若 r(A) < n-1, 则 r(A*) = 0.

本题证明:
因为 A,B为4阶方阵, r(A)=4,r（B)=3
所以 r(A*)=4, r(B*)=1
故 A* 可逆

所以 r(A*B*) = r(B*) = 1.

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追问

为什么若 r(A) = n-1, 则 r(A*) = 1.

追答

看看证明吧 http://hiphotos.baidu.com/lry31383/pic/item/75994f848d5b8a6667096e9d.jpg

Answer 2

这是由下面的结论得到的。
设A,B同为n阶矩阵，则
r(A)+r(B)≤n-r(AB)
题目中BB*=|B|E=0，故r(BB*)=0，
因此 r(B)+r(B*)≤4-0=4

追问

这结论是个定理吗，书上没有哦

追答

可以算定理。是的，教材里可能没有，你可以找下课本上的练习题。但在辅导书上一点有，如果你学到了分块矩阵那章，可以用分块矩阵的初等变换很容易的证明出来。