Question

高三三角函数题

已知点a为顶点，线段bc再定直线l上滑动，已知bc=4，点a到直线l的距离为3，求三角形abc的外心的轨迹方程

Answer 1

以BC的中点为x轴，BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系。
使B的坐标为（－2,0），C的坐标为（2，0）。

令A的坐标为（m，2）。则：
AB的斜率＝2/（m＋2），AC的斜率＝2/（m－2）。
AB的中点D坐标为（m/2－1，1），AC的中点E坐标为（m/2＋1，1）。

令△ABC的外心为G，则：
DG的方程是：y－1＝［－（m＋2）/2］［x－（m/2－1）］
EG的方程是：y－1＝［－（m－2）/2］［x－（m/2＋1）］
上述两方程相减，得：
［－（m＋2）/2］［x－（m/2－1）］－［－（m－2）/2］［x－（m/2＋1）］＝0，
∴［－（m＋2）/2］［x－（m/2－1）］＝［－（m－2）/2］［x－（m/2＋1）］
∴（m＋2）（x－m/2＋1）＝（m－2）（x－m/2－1）
∴（m＋2）x－（m＋2）m/2＋（m＋2）＝（m－2）x－（m－2）m/2－（m－2）
∴（m＋2）x－（m－2）x＝（m＋2）m/2－（m－2）m/2－（m－2）－（m＋2）
∴4x＝［（m＋2）－（m－2）］m/2－m＋2－m－2＝0
∴x＝0。
显然，x＝0就是G的横坐标，可见G在x轴上，与m的取值无关，即与A的位置无关。
∴G在BC的中垂线上，即△ABC的外心在BC的中垂线上。
自然，△ABC的外心的轨迹为BC的中垂线。　　　［选取的坐标系不同，方程就不同。］

Answer 2

建立直角坐标系
∵点a到直线l的距离为3
∴设a点为(0,3)
直线l为x轴
设b点为(b,0),c点为(b+4,0)

三角形abc的外心既三角形任意两边的中垂线交点
设BC的中垂线为直线x=b+2

直线AB的中点为(b/2,3/2)
方向向量为(-b,3)
法向量就是(3,b)

则中垂线过(b/2,3/2)，方向向量(3,b)
得直线方程y=bx/3+(9-b²)/6
代入b=x-2

y=(x-2)x/3+[9-(x-2)²]/6
y=(x²+5)/6 轨迹方程

Answer 3

我的方法是 建立以bc为中点为原点的坐标系 设a(xa,3)
b(-2,0) c(2,0) 圆心坐标为(x,y)
设半径为R R^2=(x+2)^2+y^2
R^2=(x-2)^2+y^2 =>x=0
(x-xa)^2+(y-3)^2=R^2 => (xa)^2+(y-3)^2=R^2=(x+2)^2+y^2
=>(x+2)^2+6y-9=(xa)^2
6y-5=(xa)^2 x=0
楼主觉得好就采纳 谢谢

Answer 4

【1】
建系。由题设，可设定直线就是x轴，
线段BC在x轴上滑动，点A(0,3)
B(t,0) C(t+4,0)
【2】
可设外心G(x,y)
易知|GA|=|GB|=|GC|
∴由两点间距离公式可得：
x²+(y-3)²=(x-t)²+y²=(x-t-4)²+y²
∴9-6y=t²-2tx=(t+4)²-2x(t+4) (均减去x²+y²)
x=t+2 6y=5+(t+2)²
∴x²=6y-5