Question

设二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+3x2^2+2x3^2+4x1x2+2x1x3+2x2x3，（1）写出二次型的矩阵；

设二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+3x2^2+2x3^2+4x1x2+2x1x3+2x2x3，（1）写出二次型的矩阵；（2）用配方法化二次型为标准型，并求出相应的满秩变换。

Answer 1

1 2 1
2 3 1
1 1 2
上面为二次型的矩阵。
f(x1,x2,x3)=x1^2+3x2^2+2x3^2+4x1x2+2x1x3+2x2x3=（x1+2x2+x3）^2-x2^2+x3^2-2x2x3=（x1+2x2+x3）^2+(x3-x2)^2-2x2^2，所以标准型为y1^2+y2^2-2y3^2。
你说的满秩变换指的是正交变换的矩阵吗？还是说就是
y1=x1+x2+x3
y2=X3-X2
y3=X2
得到的矩阵
1 1 1
0 -1 1
0 1 0