Question

试讨论函数f(x)=ax/x^2-1,x属于(-1,1)的单调性.

Answer 1

解：f(x)=ax/(x^2-1)
对f(x)求导得：
f(x)'=(-ax^2-a)/(x^2-1)^2
令f(x)'≥0:
f(x)'=(-ax^2-a)/(x^2-1)^2≥0
即是：
(-ax^2-a)≥0
讨论：
当 a=0 时：
f(x)=0,是常函数，故不存在单调区间。
当 a<0 时：
(-ax^2-a)≥0,得：
x^2+1≥0
上式是恒成立的，因此在(-1,1)上单调递增。
当 a>0 时：
(-ax^2-a)≥0，得：
x^2+1≤0
无解。故f(x)在其定义域内单调递减。因此在(-1,1)上是单调递减的。
故综上所述：
当a=0 时，在(-1,1)上不存在单调性。
当a>0时，在(-1,1)上单调递减。
当a<0时，在(-1,1)上单调递增。

Answer 2

f'=a[x^2-1-x(2x)]/(x^2-1)^2=-a(x^2+1)/(x^2-1)^2
a>0, f'<0, 在定义域(-1,1)内为单调减函数
a<0, f'>0， 在定义域(-1,1)内为单调增函数