Question

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题目如下：如果a>b,ab=1
求证：a^2 + b^2 >= 2倍根号2 乘（a-b) 并指明何时取等号

Answer 1

∵a＞b，∴a－b＞0，∴a－b＋2/（a－b）≥2√｛（a－b）［2/（a－b）］｝＝2√2，
∴（a－b）^2＋2≥2√2（a－b），∴a^2－2ab＋b^2＋2≥2√2（a－b）。
而ab＝1，代入上式后整理，得：a^2＋b^2≥2√2（a－b）。

显然，当a－b＝2/（a－b）时，取等号。此时，a－b＝√2，又ab＝1，得：－ab＝－1。
∴由韦达定理，得：a、－b为方程x^2－√2x－1＝0的两根。
∴x＝［√2±√（2＋4）］/2＝（√2±√6）/2。
而a＞b，∴a＝（√2＋√6）/2，－b＝（√2－√6）/2，得：b＝（√6－√2）/2。
即当a＝（√6＋√2）/2，b＝（√6－√2）/2时，取等号。