Question

两道高一数学题,要详细过程

1.已知三角形ABC是边长为a的等边三角形,D,E分别在边AB,AC上,且DE平分△ABC的面积,求线段DE的最大值
2.在边长为1的菱形ABCD中,∠ABC=120°,E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于点H，则 向量AH*向量AB=？
第一题用基本不等式做 两道题没一个人做对的 哪有这么烦的，根本不要建立坐标系的

Answer 1

第一题：如果用基本不等式做，我估计题目打错了，应该求线段DE的最小值。

因为用基本不等式的时候当取特殊值时成立，而且特殊值有且仅有一个。

若是最大值，显然D，E分别取端点时线段DE都有最大值√3a／2，有两个解。

基于上述考虑，若求线段DE的最小值，过程如下：

如图所设AD=x，AE=y。

DE² =x²＋y²－2xycos60°

       =x²＋y²－xy

       ≥2xy－xy ＝xy

由DE平分面积，得½xysin60°＝（√3×a²）／4 ×½

化简得xy＝a²／2，所以DE ≥（ √2×a）／2。

DE最小值为 （√2×a）／2。

第二题：向量AB×向量AH＝（向量AD＋向量DE＋向量EB）×（向量AD＋向量DH）

＝（½向量AD＋向量DE）×（向量AD＋向量DH）

＝½向量AD²＋向量DE×向量DH

＝½＋向量DE×向量DH

（易证DE⊥AD，由∠EDC=30°）

设AF交BD于M点。

由AB∥DF，得△ABM ≌ △FDM，故DM：HB＝DF：AB＝½，

故DH＝1／3BD＝2／3EF。

由DM∥EF，得△DMH ≌ △EFH，故DH：HE＝DM：EF＝2／3。

DH=2／5DE 。

∴向量AB×向量AH＝½＋2／5向量DE²＝½＋3／10=4／5。

Answer 2

由题意可得： a>AD>=1/2AB=1/2a

同理 a>AE>=1/2AC=1/2a

三角形ADE中，AD+AE>DE

                         DE>AD-AE

                          解出DE范围（a>DE>1/2a），

Answer 3

1.
设AD,AE和DE的长分别为x,y和z.
△ADE的面积 = (1/2)xysinA = √3/4 * xy = 1/2 * △ABC的面积 ==> xy = a^2 /2.
由余弦定理, z^2 = x^2 + y^2 - 2xy cosA = x^2 + y^2 - a^2 /2 = x^2 + (a^4 /4)/x^2 - a^2 /2.
设 f(x) = z^2 = x^2 + a^4 /(4x^2) - a^2 /2，a/2 <= x <= a.
f(a) = a^2 + a^2/4 - a^2 /2 = 3a^2 /4. ==> f(a/2) = 3a^2 /4， f(a/2) = f(a).
f(x) - f(a) = x^2 + a^4 /(4x^2) - a^2 /2 - 3a^2 /4 = x^2 + a^4 /(4x^2) - 5a^2 /4
= (x^4 - (5a^2 /4)x^2 + a^4 /4)/x^2 = ( (x^2 - 5a^2 /8)^2 - (3a^2 /8)^2 )/x^2
所以， a/2 < x < a ==> (x^2 - 5a^2 /8)^2 - (3a^2 /8)^2 < 0 ==> f(x) - f(a) < 0.
所以，线段DE的最大值 = (f(a))^(1/2) = (f(a/2))^(1/2) = (√3/2)a

2.
由余弦定理, AE^2 = 1^2 +(1/2)^2 - 2(1)(1/2)cos120°, AE = AF = √7 /2,
cos∠BAE = (1^2 + 7/4 - (1/2)^2)/(2(1)(√7 /2)) = 5/(2√7) ==> cos∠DAH = 5/(2√7)
∠ADH = ∠ADB + ∠BDE = 60° + 30° = 90° ==> AH = AD/cos∠DAH = 2√7/5
向量AH = (AH/AF)向量AF = (2√7/5 / (√7 /2))向量AF
= (4/5)向量AF = (4/5)(向量AD + (1/2)向量AB)
向量AH * 向量AB = (4/5)(向量AD * 向量AB + (1/2)向量AB * 向量AB)
= (4/5)(1*1*cos60° + (1/2))
= 4/5

Answer 4

1. 三角形的面积公式=1/2*夹角正弦*两边
故△ABC的面积=1/2*sinA*AD*AE
两点中有一点在端点处另一点在线段的中点出，得：DE等于2分之根号三倍的a
2向量AB×向量AH＝（向量AD＋向量DE＋向量EB）×（向量AD＋向量DH）
＝（½向量AD＋向量DE）×（向量AD＋向量DH）
＝½向量AD²＋向量DE×向量DH
＝½＋向量DE×向量DH
（易证DE⊥AD，由∠EDC=30°）
设AF交BD于M点。
由AB∥DF，得△ABM ≌ △FDM，故DM：HB＝DF：AB＝½，
故DH＝1／3BD＝2／3EF。
由DM∥EF，得△DMH ≌ △EFH，故DH：HE＝DM：EF＝2／3。
DH=2／5DE 。
∴向量AB×向量AH＝½＋2／5向量DE²＝½＋3／10=4／5。

Answer 5

看到这些题真的很怀念 感慨万千

看了上面几位兄弟的答案，无语...........

第一题基本不等式能解释一下么

第二题：
正解
1.连接BD，与AF交于I点。
则△ABI∽△FDI （相似下面那两横打不出来 呵呵）
因为F是DC的中点，所以DF=1/2
根据△ABI∽△FDI，得到DI/BI=1:2
因为△ABD为等边三角形(简单过程略了)，BD=DI+BI=1 又 DI/BI=1:2
所以DI=1/3
2.连接EF，则△EFH∽△DIH(过程略 很简单 平行 对角 呵呵)
那么ID/EF=HD/HE
ID(上面求出)=1/3
EF是等边三角形BCD的中点连线，因此EF=1/2
代入 则HD/HE=2/3
3.在直角三角形DEC中，∠C=60°，
直角边DE=(根号3)/2 (根号打不出来 -_-)
DE=HE+HD 上面求的HD/HE=2/3
HD=(根号3)/5
4.最后一步了
∠EDA为直角 (简单略)，那么△HDA为直角三角形
已知AD=1，HD=(根号3)/5 上面3中求的，那么斜边
AH=2*(根号7)/5

这个才是正解 呵呵，累死我了 ，死亡了上亿个脑细胞

基本不等式解释下，再帮你想

分分给我吧 O(∩_∩)O~