Question

三角形的三个内角A,B,C依次成等差数列,若sin^2(b)=sina*sinc 试判断形状以及证明过程

Answer 1

2b=a+c
a+c+b=2b+b=3b=180 b=60
sin^2(b)=3/4
sina*sinc=sina*sin(120-a)=sina*(根3/2*cosa+1/2*sina)=根3/2*sina*cosa+1/2*sina*sina=3/4
则2根3*sina*cosa+2*sina*sina=3
根3*sin2a+1-cos2a=3
根3*sin2a-cos2a=2
根3/2*sin2a-1/2*cos2a=1
sin(2a-pi/6)=1
2a-pi/6=pi/2
a=pi/3
c=pi/3
所以是等边三角形

追问

好 谢谢

Answer 2

A,B,C成等差数列，则2B=A+C，所以B＝(A+B+C)/3＝60°
sin^2(B)=sinA*sinC＝1/2×[cos(A-C)－cos(A+C)]＝1/2×[cos(A-C)＋cosB)]
所以3/4＝1/2×[cos(A-C)＋1/2]，所以cos(A-C)＝1，A-C＝0，A＝C
所以△ABC是等边三角形