Question

已知△ABC中,AB=AC,∠BAD=∠CAD,F为BA延长线上的一点,AE平分∠FAC,DE∥AB交AE于点E。

1.求证：AE∥BC
2. 求证：四边形AECD是矩形
3.BC=6CM,S四边形AECD=12cm²，求AB的长

Answer 1

解：﹙1﹚∵AB=AC
∴ △ACB为等腰三角形
∵AD平分∠BAC
∴∠CAD=∠BAD
又AD是BC边上的高﹙等腰三角形三线合一﹚
∴∠ADC=∠ADB=90°
又AE平分∠FAC
∴∠FAE=∠CAE
∵∠FAE+∠CAE +∠CAD+∠BAD=180°
∴2﹙∠CAE+∠CAD﹚=180°
∴∠CAE+∠CAD=90°
即∠DAE＝90°
∴ ∠DAE=∠BDA
∴AE∥BC ﹙内错角相等﹚
﹙2﹚∵∠AEC＝∠DAE＝∠ADC＝90°
∴ 四边形AECD是矩形
﹙3﹚∵BC＝6
∴CD＝3
∵S矩形AECD=12cm²
∴CE=AD=4
∴S三角形ABC＝12，AB=根号6

Answer 2

解答：﹙1﹚∵AB=AC ∴ △ACB为等腰三角形
∵AD平分∠BAC∴∠CAD=∠BAD 且AD是BC边上的高﹙等腰三角形三线合一﹚
∴∠ADC=∠ADB=90° 又∵AE平分∠FAC∴∠FAE=∠CAE
∵∠FAE+∠CAE +∠CAD+∠BAD=180° ∴2﹙∠CAE+∠CAD﹚=180°
∴∠CAE+∠CAD=90° 即∠DAE＝90°∴ ∠DAE=∠BDA
∴AE∥BC ﹙内错角相等﹚
﹙2﹚∵∠AEC＝∠DAE＝∠ADC＝90°∴ 四边形AECD是矩形
﹙3﹚∵BC＝6∴CD＝3 ∵S矩形AECD=12cm² ∴CE=AD=4 ∴S三角形ABC＝12
AB=根号6

Answer 3

AB=AC 所以 ∠ACB=∠ABC
因为∠FAC=∠ACB+∠ABC=2∠ACB
因为AE平分∠FAC，
所以∠FAC=2∠EAC
所以∠EAC=∠ACB
根据内错角相等，判定AE∥BC

追问

为什么∠FAC=∠ACB+∠ABC

追答

三角形的外角等于另外两内角之和
△ABC的内角和为180°吧
即∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°
∠FAC+∠BAC=180°对吧
所以∠FAC=∠ACB+∠ABC

Answer 4

1.求证：任何大于6的偶数都可以表示为两个奇质数之和。
2.求证：a^n+b^n=c^n 在n>2时，a，b，c没有正整数解。

这两道题很简单的，也很经典，大概高二数学的水平，如果能在半小时内解决这两题，高考数学至少120分。
7月p6