Question

设数列{an}的各项都是正数，记Sn为数列{an}的前n项和，对任意n∈正整数，都有2Sn^2=a1^3+a2^3··+an^3

若cn=3^n+(-1)^(n-1)y·2^(an/2)(y为非零整数，n∈N*),问是否存在整数y，使得对任意n∈N*,都有c(n+1)>cn

Answer 1

2Sn^2=a1^3+a2^3··+an^3,所以2S（n-1)^2=a1^3+a2^3··+a(n-1)^3,(n>=2),所以2Sn^2-2S(n-1)^2=an^3,2(Sn+S(n-1))(Sn-S(n-1))=an^3,所以2（Sn+S(n-1)）=an^2,所以2(S(n-1)+S(n-2))=a(n-1)^2,（n>=3）两式相减得2an+2a(n-1)=an^2-a(n-1)^2,an-a(n-1)=2(n>=3)因为2Sn^2=a1^3+a2^3··+an^3，所以a1=2,a2=4,所以a2-a1=2，所以an为等差数列，an=2n,所以cn=3^n+(-1)^(n-1)y-2^n,c(n+1)-cn=2*3^n-2^n+(-1)^n*2y>0对n∈N*恒成立,，n为奇数2*3^n-2^n-2y>0,y<3^n-2^(n-1),易知3^n-2^(n-1)>3-2^0=2,y<2，n为偶数，y>2^(n-1)-3^n,易知2^(n-1)-3^n<2^1-3^2=-7,所以y>-7,综上所述，y的范围是（-7,2）