Question

AB为⊙O的直径，CA、CD分别为⊙O的切线，A、D为切点，DE⊥AB于点E，连接BC交DE于点F 求证：DF=EF

AB为⊙O的直径，CA、CD分别为⊙O的切线，A、D为切点，DE⊥AB于点E，连接BC交DE于点F
求证：DF=EF

Answer 1

证明：

延长AC，交BD的延长线于点P

∵AB是直径

∴∠ADP=90°

∵CA、CD是切线

∴CA=CD

易得AC=CP

∵DE⊥AB

∴DE∥AP

∴DF/CP=BF/BC=EF/AC

∴DF=EF

Answer 2

“根据切线长定理可得CD=BG”是错误的、也是多余的。应该是DG=BG
解：
作BG⊥AB，交CD的延长线于点G
得：AC∥DE∥BG（都垂直AB）
∴DG/EB = CG/AB （平行线被线段相割的性质） ∵DG=BG（切线长定理）
∴BG/EB = CG/AB
即BG/CG=EB/AB
另外两个相似三角形中，有：
EF/AC=EB/AB
DF/BG=CD/CG 即DF/CD=BG/CG
∴EF/AC=DF/CD
又AC=CD（切线长定理）
∴DF＝EF

Answer 3

证明：作BG⊥AB，交CD的延长线于点G
∵ AC//DE//BG
∴EF/AC=BE/BA=CD/CG，DF/CD=BG/CG
由切线长定理可得：CD=BG
∴EF/AC=DF/CD
∵AC=CD（切线长定理）
∴DF＝EF

Answer 4

方法1。延长AC，交BD的延长线于点P
∵AB是直径
∴∠ADP=90°
∵CA、CD是切线
∴CA=CD
易得AC=CP
∵DE⊥AB
∴DE∥AP
∴DF/CP=BF/BC=EF/AC
∴DF=EF
方法2.作BG⊥AB，交CD的延长线于点G
∵ AC//DE//BG
∴EF/AC=BE/BA=CD/CG，DF/CD=BG/CG
由切线长定理可得：CD=BG
∴EF/AC=DF/CD
∵AC=CD（切线长定理）
∴DF＝EF

Answer 5

"由切线长定理可得：CD=BG"
应该是GD=BG