Question

如图，D，E，F分别是三角形ABC的边AB，BC，CA的中点。求证AE、BF、CD相交於同一点G,且GA/AE=GB/BF=

如图，D，E，F分别是三角形ABC的边AB，BC，CA的中点。求证AE、BF、CD相交於同一点G,且GA/AE=GB/BF=GC/CD=2/3 （点G叫做三角形ABC的重心）。
要用向量的方法证明，AE、BF、CD相交於同一点G, 再证明：GA/AE=GB/BF=GC/CD=2/3

Answer 1

证明：设BF、CD交于点K。取BK中点M，CK中点N。连MN、DF、DM、FN。
∴MN‖BC且MN＝(1/2)BC
同理DF‖BC且DF＝(1/2)BC
∴DF‖MN且DF＝MN
∴四边形DFNM是平行四边形
∴FK＝MK
又∵BK＝2MK
∴BK＝2FK
∴FK＝(1/3)BF
即BF与CD的交点在线段BF上距点F (1/3)BF处
同理，BF与AE的交点在线段BF上距点F (1/3)BF处
AE、BF、CD交于一点。
令该点为G，则AE、BF、CD交于一点G。

追问

可以用向量的方法證明嗎？，剛學完嚮量

追答

可以，
方法一样的，
你只要把线段改成向量就好啦，
不过，
要注意向量的方向，
别把字母写反了~
还有就是，
向量的长度不能直接写哦，
要在向量外加绝对值~表示向量的模，
再等于……

追问

詳細寫一次吧，還有第二個問題，沒有證出來

追答

小鬼，你多大？
我不知道这是初中的还是高中的题~
你要证明的是GA/AE=GB/BF=GC/CD=2/3，
我已经证明出FK＝(1/3)BF，这不是一样的吗？
好吧，你等等，我解给你~
用草稿纸写给你好了，
等会发图片给你……

追问

好，我在哪裡可以收到你的圖？我在學高一下學期的數學。

追答

小鬼，图片可能太大，上传失败，
我还是用打字的给你吧~
你自己画图哦……
先画图,
在平面上任取一点O,
设向量OA=a,向量OB=b，向量OC=c
则向量OE=1/2（b+c),向量OD=1/2(a+b),向量OF=1/2(c+a).
再设G为AE上的三等分点，满足向量AG=2向量GE，
则向量OG=1/3向量OA+2/3OE=1/2a+2/3 * 1/2(a+b)=1/3(a+b+c)
同理可证，G也是BF，CD的三等分点，
因此三条中线交于点G。
且GA/AE=GB/BF=GC/CD=2/3~
这样，
你有明白吗？
要是再不懂的话，
我建议你去问问老师，
毕竟老师跟你面对面的沟通，
而且，
老师了解你的理解能力，
知道怎样用最简洁的话语让你明白……

Answer 2

利用中位线可以搞定

追问

怎樣利用中位綫，求詳細答案