Question

这道题怎么解啊，郁闷，算了半天都算不出来，麻烦写下详细过程，谢了~

一抛物线y2=4x，直线L与其交于两点AB，若向量OB*OA=-4，且AB的长大于等于4根6，小于等于4根30，求L的斜率取值范围

Answer 1

解：
设A,B两点的坐标分别为：A(x1,y1) ,B(x2,y2)
因此向量为：
OA=(x1,y1) OB=(x2,y2)
根据题意有OB*OA=-4，则：
x1.x2+y1.y2=-4 ---------x1.x2= -4-y1.y2
设直线方程为：
y=kx+b (由题可知k不为0，如果等于0的话就只有一个交点了。故不为0)
由于A,B均在直线上，则有：
y1=kx1+b
y2=kx2+b
两式相减得：
y1-y2=k(x1-x2) ---------------------k=(y1-y2)/(x1-x2)
又由于A,B也在抛物线上，故也有：
(y1)^2=4x1
(y2)^2=4x2
两式相乘得：
x1.x2=(y1.y2)^2/16
因为上面根据向量乘积得出了：x1.x2= -4-y1.y2 ，故代入得：
x1.x2= -4-y1.y2=(y1.y2)^2/16
解得：
y1.y2= -8 (只有这一个解)
故：
x1.x2=-4-y1.y2=4
(y1)^2=4x1
(y2)^2=4x2
两式相减得：
(y1)^2-(y2)^2=4(x1-x2)=(y1+y2)(y1-y2)
当k存在时，两边同时除以（x1-x2）：
4=(y1+y2)[(y1-y2)/(x1-x2)]=(y1-y2)k
因此：
(y1+y2)=4/k
根据题意得：4√6≤AB≤4√30
这儿为了消去根号，故用(AB)^2,所以：
96≤(AB)^2≤480
根据两点间的距离公式得A,B的距离的平方为：
(AB)^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2
由于前面得到了：y1-y2=k(x1-x2)，则：
(x1-x2)=(y1-y2)/k
代入有：
(AB)^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=(y1-y2)^2/k^2+(y1-y2)^2
=(y1-y2)^2(1+1/k^2)
因为上面得出了：
y1.y2= -8 , y1+y2=4/k
则：
(y1-y2)^2=(y1+y2)^2 -4y1.y2=16/k^2 +32
也代入前式：
(AB)^2=(y1-y2)^2(1+1/k^2)=(16/k^2+32)(1+1/k^2)
=16(2k^4+3k^2+1)/k^4
代入不等式并约分得：
6≤(2k^4+3k^2+1)/k^4≤30
于是分成两部分，最后得出的解的区间取交集。
(1)
6≤(2k^4+3k^2+1)/k^4
-4k^4+3k^2+1≥0
解得：-1/4≤k^2≤1
由于 k^2≥0,故：
0≤k^2≤1
得到k的范围为：
k~[-1,1]
(2)
(2k^4+3k^2+1)/k^4≤30
-28k^4+3k^2+1≤0
解得：k^2≥1/4 或 k^2≤-1/7
因为：k^2≥0,故：
k^2≥1/4
解得：
k~(-∞,-1/2]U[1/2,+∞)
由于前面解得k的一个范围为：k~[-1,1]
因此两个解集取交集得斜率k的取值范围为：
k~[-1,-1/2]U[1/2,1]
终于做完了！这种题真挺花时间的，希望对楼主有帮助，如果还有不清楚的再跟我说吧！

Answer 2

hrstertwe