Question

已知一元二次方程x2＋px＋q＋1＝0的一根为2．

已知一元二次方程x2＋px＋q＋1＝0的一根为2． (1)求q关于p的关系式；(2)求证：抛物线y＝x2＋px＋q与x轴有两个交点；（3）设抛物线y＝x2＋px＋q的顶点为M，且与x轴相交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，求使△AMB面积最小时的抛物线的解析式（1）（2）可以直接写答案（3）要具体步骤

Answer 1

（1）解：因为一元二次方程x^2＋px＋q＋1＝0的一根为2，把x=2代入方程，则左右两边相等，即
4+2p+q+1=0，可得：
q＝－2p－3
（2）证明：因为一元二次方程x^2＋px＋q＋1＝0的一根为2，
所以抛物线y=x^2＋px＋q＋1与x轴至少有一个公共点（2,0），把这条抛物线向下平移1个单位长度得到抛物线y=x^2＋px＋q，因抛物线y=x^2＋px＋q＋1开口向上，故抛物线y=x^2＋px＋q与x轴有两个交点。
（3）解：因为：AB=|x1-x2|，
x1+x2=-p，x1*x2=q，
所以AB=|x1-x2|=根号下[(x1+x2)^2-4x1*x2]=根号下(p^2-4q),
顶点M的纵坐标为(4q-p^2)/4，且顶点在x轴下方，所以△AMB中AB边上的高即M纵坐标的绝对值为：(p^2-4q)/4，那么△AMB的面积为：
0.5*根号下(p^2-4q)*(p^2-4q)/4={[根号下(p^2-4q)]^3}/8，
所以，要求三角形面积的最小值，只要求出(p^2-4q)的最小值就行
由(1)(2)可知，当抛物线y=x^2＋px＋q＋1与x轴有唯一公共点（2,0）时，(p^2-4q)的值最小
这时△=0，即p^2-4(q+1)=0，得p^2-4q=4
所以△AMB的面积面积的最小值是[（根号4）^3]/8=1

Answer 2

（1）解：因为一元二次方程x^2＋px＋q＋1＝0的一根为2，把x=2代入方程，则左右两边相等，即
4+2p+q+1=0，可得：
q＝－2p－5
（2）证明:由（1）知y=x^2＋px-2p-5，△=p^2-4(-2p-5)=(p+4)^2+4>0,所以抛物线与X轴有两个交点。
（3）解：因为：AB=|x1-x2|，
x1+x2=-p，x1*x2=q，
所以AB=|x1-x2|=根号下[(x1+x2)^2-4x1*x2]=根号下(p^2-4q),
顶点M的纵坐标为(4q-p^2)/4，且顶点在x轴下方，所以△AMB中AB边上的高即M纵坐标的绝对值为：(p^2-4q)/4，那么△AMB的面积为：
0.5*根号下(p^2-4q)*(p^2-4q)/4={[根号下(p^2-4q)]^3}/8，
所以，要求三角形面积的最小值，只要求出(p^2-4q)的最小值就行
由(1)(2)可知，p^2-4q=(p+4)^2+4,所以当p=-4时，△AMB的面积最小，此时q=3；
所以抛物线的解析式是：y=x^2-4x+3

Answer 3

问题一解错了，应为q=-2p-5