Question

设三角形ABC的内角A,B,C所对边长分别为a,b,c,且acosB=3,bsinA=4.

设三角形ABC的内角A,B,C所对边长分别为a,b,c,且acosB=3,bsinA=4.

（1）求边长a

（2）若三角形ABC的面积S=10，求三角形ABC的周长L

Answer 1

这个用正弦定理
b/sinB=a/sinA
所以bsinA=asinB=4,a=b*(sinA/sinB)……*
把*式代入第一个等式
b*(sinA/sinB)*cosB=3
重新组合(b*sinA)*(cosB/sinB)=3
即4/tanB=3
tanB=4/3
所以根据sinB，cosB平方和为1，且二者都为正（因为sinB肯定是正值了，有第一个等式，a为正，结果为正，cosB肯定为正）
可知cosB=3/5
代入可知a=5

2.根据面积公式
S=0.5ac*sinB
sinB=4/5,a=5
c=5

然后继续用余弦公式
b^2=a^2+c^2-2ac*cosB
=50-2*5*5*3/5=20
b=2倍根5
所以周长为10+2倍根5

Answer 2

cosB=BD:a=3:a

所以BD=3

sinA=CD：b=4：b

所以CD=4

a²=BD²+CD²

a=5

Answer 3

b/sinB=a/sinA
b*(sinA/sinB)*cosB=3
tanB=4/3
cosB=3/5
a=5

Answer 4

（1）
a/sinA=b/sinB
asinB=bsinA=4
acosB=3
tgB=4/3
sinB=4/5
a=5

(2)
S=1/2*bcsinA=1/2*4c=10
c=5
b^2=a^2+c^2-2accosB=25+25-50*3/5=20
b=2根号5
L=a+b+c=10+2根号5