Question

不等式数学问题。

已知

a_1^2+a_2^2+⋯a_n^2=1
x_1^2+x_2^2+⋯X_n^2=1
求证
a_1 x_1+a_2 x_2+⋯a_n x_n≤1

Answer 1

证明：
∵a_1^2+a_2^2+⋯a_n^2=1 ①
x_1^2+x_2^2+⋯X_n^2=1 ②
将①+②
得（a_1^2+a_2^2+⋯a_n^2）+（x_1^2+x_2^2+⋯X_n^2）=2
即（ a_1^2+x_1^2）+（a_2^2+x_2^2）+⋯+（a_n^2 +⋯X_n^2）
=2≥2a_1 x_1+2a_2 x_2+⋯2a_n x_n
化简整理得
a_1 x_1+a_2 x_2+⋯a_n x_n≤1

Answer 2

这就是基础的柯西不等式
(a1x1+a2x2+ +anxn)^2<=(a1^2+a2^2+ +an^2)(x1^2+x2^2+ +xn^2)=1

追问

没学过柯西不等式，谢谢。

Answer 3

kexi