Question

初学高等数学极限遇到的问题

如图，请解释并给出正确答案，多谢各位大侠

Answer 1

1、“两个函数乘积的极限等于每一部分极限的乘积”，前提条件是每一部分的极限都存在，现在cos(1/x)的极限是不存在的。
应该看作是“无穷小与有界函数的乘积”，sinx是无穷小，cos(1/x)有界，乘积后还是无穷小，所以结果是0。
2、分母的极限是0，不能使用法则。应该先求其倒数的极限，使用极限运算法则是没问题的，结果是0，所以原极限是∞。
3、正无穷大与正无穷大之和还是正无穷大，负无穷大与负无穷大之和还是负无穷大。如果是正无穷大与负无穷大之和，结果不定。
比如：x→＋∞，f(x)＝x与g(x)＝-x一个是正无穷大，一个是负无穷大，相加，极限是0。若f(x)＝2x，g(x)＝-x，相加，极限是＋∞。若f(x)＝x，g(x)＝-2x，相加，极限是-∞。
还有其他情形。

Answer 2

1、（1） 极限的运算法则必须在各因式极限均存在、且分母极限不为0时才能使用，cos(1/x)在
x—>0时极限不存在，不能用极限的预算法则。
（2） 2-x 在x—>2时极限为0，不满足使用运算法则的条件。

2、不对。x 和 -x 在x ——>无穷大时均为无穷大，但和显然不是无穷大

Answer 3

1、“两个函数乘积的极限等于每一部分极限的乘积”，前提条件是每一部分的极限都存在，现在cos(1/x)的极限是不存在的。
应该看作是“无穷小与有界函数的乘积”，sinx是无穷小，cos(1/x)有界，乘积后还是无穷小，所以结果是0。
2、分母的极限是0，不能使用法则。应该先求其倒数的极限，使用极限运算法则是没问题的，结果是0，所以原极限是∞。
3、正无穷大与正无穷大之和还是正无穷大，负无穷大与负无穷大之和还是负无穷大。如果是正无穷大与负无穷大之和，结果不定。
比如：x→＋∞，f(x)＝x与g(x)＝-x一个是正无穷大，一个是负无穷大，相加，极限是0。若f(x)＝2x，g(x)＝-x，相加，极限是＋∞。若f(x)＝x，g(x)＝-2x，相加，极限是-∞。
还有其他情形。 鼓励一下