Question

已知a,b,c均为正实数,且满足a+b+c=1,试证明:(1/a -1)(1/b -1)(1/c -1)>=8

Answer 1

(1/a -1)(1/b -1)(1/c -1)=[(1-a)/a][(1-b)/b][(1-c)/c]
=(1-a)(1-b)(1-c)/(abc)
由于1-a=b+c 1-b=a+c 1-c=a+b
所以(1-a)(1-b)(1-c)=(b+c)(a+c)(a+b)>=[2√(bc)]*[2√(ac)]*[√(ab)]=8abc
所以(1-a)(1-b)(1-c)/(abc)>=8abc/(abc)=8
即:(1/a -1)(1/b -1)(1/c -1)>=8

Answer 2

(1/a -1)(1/b -1)(1/c -1) = (1-a)(1-b)(1-c)/abc = (1-a-b-c+ab+bc+ca-abc)/abc
=(ab+bc+ca)/abc -1 =(1/a+1/b+1/c) -1 >= 3*三次根号(1/abc)-1>

而(三次根号a )*(三次根号b )*(三次根号c ) <= (a+b+c)/3 = 1/3

所以
(1/a -1)(1/b -1)(1/c -1) >= 3*三次根号(1/abc)-1>= 3*(1/(1/3)) -1 =8

Answer 3

将左边的式子中所有分子上的1用a+b+c代换
得到的式子再展开后用基本不等式就搞定了！

Answer 4

1/a-1=(b+c)/a≥ 2根号bc/a,其他两个同理，然后相乘即可

Answer 5

楼主,我hi你吧,额,发现你是匿名的,好的,我大致和你说下,不懂继续hi我~
（1/a-1)=（1/a-1)(a+b+c)=(1+b/a+c/a-1)
懂了吧~