设a>0,f(x)=x^2+a|lnx-1|,当x≥1时,求函数最小值

鸣人真的爱雏田
2011-07-03 · TA获得超过1.9万个赞
知道大有可为答主
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解:

(1)当 1≤x≤e时,0≤lnx≤1,lnx -1≤0,
所以 f(x)=x^2+a|lnx-1|=f(x)=x^2-alnx+a,
f‘(x)=2x-a/x=(2x²-a)/x,
如果a<2,则f'(x)>0,即f(x)在1≤x≤e上为增函数,f(x)min=f(1)=1;
如果2≤a≤2e²时,在1≤x<√(a/2) f’(x)<0,在 √(a/2) <x≤e f’(x)>0,
所以 f(x)min=f(√(a/2) )=3a/2+a/2*ln(a/2);
如果a>2e²时,f'(x)<0,即f(x)在1≤x≤e上为减函数,f(x)min=f(e)=e²;
函数的最小值为 f(1)=1;
(2)当x>e时,f(x)=x^2+a|lnx-1|=f(x)=x^2+alnx-a,
f‘(x)=2x+a/x>0,即f(x)在x>e上为增函数,
f(x)min=f(e)=e²;
综上,有
如果a<2,f(x)的最小值为1;
如果2≤a≤2e²,f(x)的最小值为3a/2+a/2*ln(a/2);
如果a>2e²,f(x)的最小值为e² 。
Sievers分析仪
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wjl371116
2011-07-03 · 知道合伙人教育行家
wjl371116
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设a>0,f(x)=x^2+a|lnx-1|,当x≥1时,求函数最小值
解:当x=1时,f(x)=x²+a=1+a;
当1<x<e时,f(x)=x²-a(lnx-1)=x²-alnx+a,令f′(x)=2x-a/x=(2x²-a)/x=2[x+√(a/2)][x-√(a/2)]/x=0
得极小点x=√(a/2),当2<a≦2e²,minf(x)=f[√(a/2)]=a/2-aln√(a/2)+a=3a/2-(a/2)(lna-ln2)
=(a/2)(3-lna+ln2);当a>2e²时,minf(x)=f(e)=e².
当x≧e时,f(x)=x²+alnx-a,由于f′(x)=2x+a/x=(2x²+a)/x>0,故f(x)=x²+alnx-a单调增加,故其最小
值=f(e)=e².
综上所述,在a>0的条件下,当x≧1时,f(x)=x^2+a|lnx-1|的最小值=e².
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