设a>0,f(x)=x^2+a|lnx-1|,当x≥1时,求函数最小值
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解:
(1)当 1≤x≤e时,0≤lnx≤1,lnx -1≤0,
所以 f(x)=x^2+a|lnx-1|=f(x)=x^2-alnx+a,
f‘(x)=2x-a/x=(2x²-a)/x,
如果a<2,则f'(x)>0,即f(x)在1≤x≤e上为增函数,f(x)min=f(1)=1;
如果2≤a≤2e²时,在1≤x<√(a/2) f’(x)<0,在 √(a/2) <x≤e f’(x)>0,
所以 f(x)min=f(√(a/2) )=3a/2+a/2*ln(a/2);
如果a>2e²时,f'(x)<0,即f(x)在1≤x≤e上为减函数,f(x)min=f(e)=e²;
函数的最小值为 f(1)=1;
(2)当x>e时,f(x)=x^2+a|lnx-1|=f(x)=x^2+alnx-a,
f‘(x)=2x+a/x>0,即f(x)在x>e上为增函数,
f(x)min=f(e)=e²;
综上,有
如果a<2,f(x)的最小值为1;
如果2≤a≤2e²,f(x)的最小值为3a/2+a/2*ln(a/2);
如果a>2e²,f(x)的最小值为e² 。
(1)当 1≤x≤e时,0≤lnx≤1,lnx -1≤0,
所以 f(x)=x^2+a|lnx-1|=f(x)=x^2-alnx+a,
f‘(x)=2x-a/x=(2x²-a)/x,
如果a<2,则f'(x)>0,即f(x)在1≤x≤e上为增函数,f(x)min=f(1)=1;
如果2≤a≤2e²时,在1≤x<√(a/2) f’(x)<0,在 √(a/2) <x≤e f’(x)>0,
所以 f(x)min=f(√(a/2) )=3a/2+a/2*ln(a/2);
如果a>2e²时,f'(x)<0,即f(x)在1≤x≤e上为减函数,f(x)min=f(e)=e²;
函数的最小值为 f(1)=1;
(2)当x>e时,f(x)=x^2+a|lnx-1|=f(x)=x^2+alnx-a,
f‘(x)=2x+a/x>0,即f(x)在x>e上为增函数,
f(x)min=f(e)=e²;
综上,有
如果a<2,f(x)的最小值为1;
如果2≤a≤2e²,f(x)的最小值为3a/2+a/2*ln(a/2);
如果a>2e²,f(x)的最小值为e² 。
Sievers分析仪
2024-10-13 广告
2024-10-13 广告
是的。传统上,对于符合要求的内毒素检测,最终用户必须从标准内毒素库存瓶中构建至少一式两份三点标准曲线;必须有重复的阴性控制;每个样品和PPC必须一式两份。有了Sievers Eclipse内毒素检测仪,这些步骤可以通过使用预嵌入的内毒素标准...
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设a>0,f(x)=x^2+a|lnx-1|,当x≥1时,求函数最小值
解:当x=1时,f(x)=x²+a=1+a;
当1<x<e时,f(x)=x²-a(lnx-1)=x²-alnx+a,令f′(x)=2x-a/x=(2x²-a)/x=2[x+√(a/2)][x-√(a/2)]/x=0
得极小点x=√(a/2),当2<a≦2e²,minf(x)=f[√(a/2)]=a/2-aln√(a/2)+a=3a/2-(a/2)(lna-ln2)
=(a/2)(3-lna+ln2);当a>2e²时,minf(x)=f(e)=e².
当x≧e时,f(x)=x²+alnx-a,由于f′(x)=2x+a/x=(2x²+a)/x>0,故f(x)=x²+alnx-a单调增加,故其最小
值=f(e)=e².
综上所述,在a>0的条件下,当x≧1时,f(x)=x^2+a|lnx-1|的最小值=e².
解:当x=1时,f(x)=x²+a=1+a;
当1<x<e时,f(x)=x²-a(lnx-1)=x²-alnx+a,令f′(x)=2x-a/x=(2x²-a)/x=2[x+√(a/2)][x-√(a/2)]/x=0
得极小点x=√(a/2),当2<a≦2e²,minf(x)=f[√(a/2)]=a/2-aln√(a/2)+a=3a/2-(a/2)(lna-ln2)
=(a/2)(3-lna+ln2);当a>2e²时,minf(x)=f(e)=e².
当x≧e时,f(x)=x²+alnx-a,由于f′(x)=2x+a/x=(2x²+a)/x>0,故f(x)=x²+alnx-a单调增加,故其最小
值=f(e)=e².
综上所述,在a>0的条件下,当x≧1时,f(x)=x^2+a|lnx-1|的最小值=e².
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