Question

问一道高中几何证明题

已知点O是正方形ABCD两对角线的交点，DE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，且AB=BF=2DE。（1)求证：EO⊥平面AFC（2）在线段EF上找一点M，使三棱锥M-ACF为正三棱柱。

Answer 1

1.连接EF,EB,EO,FO.设正方形ABCD边长为a。∵DE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，∴EO=√(1/4a²+1/2a²)=√3/2*a,FO=√(a²+1/2a²)=√6/2*a,EF=√(1/4a²+2a²)=3/2*a.则EO²+FO²=EF²，∴△EOF为直角三角形，EO⊥FO；EB=√(1/4a²+a²)=√5/2*a,BO=√2/2*a，则EO²+BO²=EB²，∴△EOB为直角三角形，EO⊥BO；∵FO和BO是平面AFC中相交直线，∴EO⊥平面AFC。
2.三棱锥M-ACF的底面△ACF三边相等=√2*a，有余弦定理cos∠EFB=5√2/8。若三棱锥M-ACF为正三棱锥，点M与△ACF三边中点连线垂直平分底边。则MF=(√2/2a)/5√2/8=4/5a,使三棱锥M-ACF为正三棱锥,棱长为EF的8/15.

Answer 2

先做辅助线：连接线段OF,EF,AE,CE,在EF取一点G点，连接OG。
等边三角形AEC中,OE是中线，所以OE⊥AC。
梯形DEFB中，再利用AB=BF=2DE，三角函数关系，证明OE⊥OF，
所以OE⊥平面AFC。

Answer 3

忘了