Question

设函数f(x)在区间[a,b]上连续，在区间（a,b)内有二阶导数，如果f(a)=f(b)且存在c

设函数f(x)在区间[a,b]上连续，在区间（a,b)内有二阶导数，如果f(a)=f(b)且存在c属于（a,b)使得f(c)>f(a)证明在（a,b)内至少有一点&，使得f"(&)<0

Answer 1

!!! Rolle定理只能证明零点，你可以参考高等数学上册的中值定理
函数f(x)在区间[a,b]上连续，在区间（a,b)内有二阶导数
由拉格朗日中值定理 f(c)-f(a)=(c-a)f'(%)>0所以f'(%)>0; %属于（a,c)
同理f(b)-f(c)=(b-c)f'(^)<0所以f'(^)<0 ^属于（b,c)
再利用拉格朗日中值定理
f'(^)-f'(%)=f"(&)(^-%)<0所以f"(&)<0
推广一下 根据罗尔定理f'(@)=0;如果题目三阶可导，必有f"'($)=0

Answer 2

这个很显然
分别在(a,c)和(c,b)上用Rolle定理得存在x1,x2满足a<x1<c<x2<b且f'(x1)>0, f'(x2)<0，再用一次Rolle定理得存在x3满足x1<x3<x2使得f''(x3)<0

追问

谢谢。能再具体些吗

追答

够具体了，再搞不懂就把Rolle定理的式子自己写一下，不要太偷懒

追问

谢谢我能在问你一个问题吗？求I=(x^b-x^a)/Inx(b>a>o)的从0到1的定积分

追答

(x^b-x^a)/Inx=\int_a^b x^t dt，再把积分次序交换一下

追问

t=?

追答

\int_a^b x^t dt 表示x^t dt在[a,b]上的积分，就算看不懂记号猜都能猜出来的吧

追问

看不懂
x^t dt在[a,b]上的积分等什么

追答

不是写过了吗
(x^b-x^a)/Inx=\int_a^b x^t dt
这里x是常数，t是积分变量

追问

=int减去a^bx^tdt
这是个双重积分=0到1a到bx^tdt

追答

看图，再不会我也不管了，自己反省

Answer 3

什么东西啊，下次提问问题能不能先完善了啊

追问

sorry,刚刚系统有点问题