Question

怎么样求两个矩阵相似

我知道两个矩阵相似的条件是 p^(-1) A p=B 但是如果给你两个矩阵
A 1 0 B 0 0
1 0 1 1
我就不知道该怎么看他们相似不相似了
简单的再说一下如何判断两个矩阵是否相似？

Answer 1

矩阵的特征值是单根 就可对角化
两个矩阵的特征值都是1,0单根, 都可对角化
由于它们的特征值又一样
所以它们相似于同一个对角矩阵 diag(1,0)
即有 P^-1AP = Q^-1BQ
所以有 A=PQ^-1BQP^-1
= (QP^-1)^-1BQP^-1
即有 A,B相似.

事实上,两个矩阵相似的判断超出了线性代数的范围
在北大的<高等代数>中给出了两个矩阵相似的充要条件,即它们有相同有行列式因子,不变因子, 或初等因子.
这需要λ-矩阵的基础

Answer 2

判断两个矩阵的相似性程度，常常会用到mantel相关系数，一般称为Mantel's test，这是针对下三角矩阵的。mantel‘s test在生物学、社会学、生态学中应用很广。

Answer 3

Answer 4

初步判断可以依据以下两条相似矩阵的必要条件：
1.相似矩阵行列式相等；
2.相似矩阵的迹相等（迹就是主对角元素之和）。
一般以上两条容易验证，尤其是第二条。比如你可以一眼看出以下矩阵不相似
1 0 ，1 1 ，-1 0
0 1 0 0 0 -1
初步判断无果后，可用相似的充要条件判断（第2个最常用，计算也不复杂）：
1.定义
2.特征值相等（重数也相等）
3.行列式因子相等
4.不变因子相等
5.有相同的初等因子