Question

已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°,D是BC边上的中点…………

已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°,D是BC边上的中点，BE⊥AD,延长BE交AC与F，连结DF.求证：∠ADB=∠FDC
注意：请务必用向量的方法做！

Answer 1

∵△ABC是等腰直角三角形，且∠ABC＝90°。
∴可令A（－m，0），B（0，m），C（m，0），得：D（m/2，m/2）。得：
向量BD＝（m/2，－m/2），向量AD＝（3m/2，m/2），向量CD＝（－m/2，m/2）。
设F（x，0），得：向量BF＝（x，－m）。
∵AD⊥BF，∴向量AD·向量BF＝0，∴3mx/2－m^2/2＝0，∴x＝m/3，得：F（m/3，0）。
∴向量FD＝（m/6，m/2）。

由向量交角公式，有：
cos∠ADB＝向量AD·向量BD/（｜向量AD｜｜向量BD｜）
＝（3m^2/4－m^2/4）/［√（9m^2/4＋m^2/4）√（m^2/4＋m^2/4）］
＝（3－1）/［√（9＋1）√（1＋1）］＝2/√20＝1/√5。

cos∠FDC＝向量FD·向量CD/（｜向量FD｜｜向量CD｜）
＝（－m^2/12＋m^2/4）/［√（m^2/36＋m^2/4）√（m^2/4＋m^2/4）］
＝（－1/12＋1/4）/［√（1/36＋1/4）√（1/4＋1/4）］＝（1/3＋1）/√［（1/9＋1）（1＋1）］
＝（－1＋3）/√［（1＋9）×2］＝2/√20＝1/√5。

∴cos∠ADB＝cos∠FDC，∴∠ADB＝∠FDC。